Zahlenbeispiel

Folgende Formel zur Kraftänerdung \(\Delta F\), die sich über einen betrachteten Seilabschnitt unter dem Winkel \(\Delta \varphi\) ergibt, soll im Folgenden mit einem Zahlenbeispiel erläutert werden (Herleitung siehe Abschnitt zuvor):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{\Delta F = 2 F \cdot \tfrac{\sin\left(\tfrac{\Delta \varphi}{2}\right) \cdot \mu}{\cos\left(\tfrac{\Delta \varphi}{2}\right) -\sin\left(\tfrac{\Delta \varphi}{2}\right) \cdot \mu} }\\[5px]
\end{align}

Wird der erste Seilabschnitt betrachtet, dann entspricht die Kraft \(F\) am linken Seilende gerade der Gewichtskraft \(F_1\) der Kiste. Wird ein Betrachtungswinkel von \(\Delta \varphi\) = 12° gewählt und von einem Reibungskoeffizienten von \(\mu\) = 0,3 ausgegangen, dann ergibt sich bei einer angenommenen Gewichtskraft der Kiste von \(F_1\) = 100 N über diesen ersten Seilabschnitt eine Kraftänderung im Seil von \(\Delta F\)= 6,5 N. Somit muss am rechten Ende des Seilabschnitts nun eine Kraft von 106,5 N aufgebracht werden, um die in diesem Abschnitt herrschende Reibungskraft zu überwinden.

Seil-Reibung, Gleichung, Herleitung, Eulersche, Eytelweinsche, Kräfte

Interaktive Abbildung: Kräften am ersten/zweiten Seilabschnitt

Die soeben ermittelte Seilkraft am rechten Ende von 106,5 N kann nun für den nachfolgenden Seilabschnitt wieder als neue Kraft \(F\) = 106,5 N herangezogen werden ("Aktion = Reaktion") [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]. Nach Gleichung (\ref{1}) ergibt sich über diesen zweiten Seilabschnitt dann eine neue Kraftänderung um nunmehr \(\Delta F\)= 6,9 N auf insgesamt 113,4 N (=106,5 N + 6,9 N). Diese Kraft von \(F\) = 113,4 N wird nun wieder für den nächsten Seilabschnitt zugrunde gelegt und die dortige Kraftänderung ermittelt werden. Diese Vorgehensweise wird solange wiederholt bis schließlich der gesamte Umschlingunswinkel \(\varphi\) durchlaufen ist. Wird ein Umschlingungswinkel von \(\varphi\) = 132° angenommen, dann muss diese Vorgehensweise folglich insgesamt 11 mal durchgeführt werden. Die untere Animation zeigt die sich dabei ergebenden Kräfte.

Animation, Seil-Reibung, Gleichung, Herleitung, Eulersche, Eytelweinsche, Kräfte

Animation: Seilreibung

In jenem Punkt bei dem das Seil von der Stange abläuft ergibt sich dann eine Seilkraft von 200 N. Dies entspricht offensichtlich der gesuchten Kraft \(F_2\) mit der gezogen werden muss, um die Kiste zu bewegen. Aufgrund der Reibung muss somit mit einer doppelt so großen Kraft gezogen werden im Vergleich zum reibungsfreien Fall. Die Differenz der Kräfte \(F_2\) und \(F_1\) entspricht der Reibungskraft \(F_R\). Sie beträgt in diesem Fall 100 N.

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