Zykloidenkonstruktion

Die Flankenform einer Zykloidenverzahnung bildet die sogenannte Zykloide. Eine Zykloide wird durch das Abrollen eines Rollkreises auf einem Grundkreis konstruiert. Die Kopfflanke entsteht dabei durch das äußere Abrollen am Grundkreis (Epizykloide) und die Fußflanke durch das innere Abrollen am Grundkreis (Hypozykloide) [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder]. Zwei spiegelverkehrte Zykloiden (d.h. Epi- und Hypozykloide) bilden dann die Grundform eines Zahnes (siehe Animation unten). Dementsprechend unterscheidet man innere Rollkreise und äußeren Rollkreise.

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Interaktive Abbildung: Konstruktion einer Zykloide

Die untere Animation zeigt die Konstruktion zweier Zykloidenzahnräder mit unterschiedlichen Grund- und Rollkreisen. Aufgrund des Verzahnungsgesetzes bildet der äußere Rollkreis mit der die Epizykloide des gelben Zahnrades konstruiert wird gleichzeitig den inneren Rollkreis zur Konstruktion der Hypozykloide des blauen Gegenrades. Umgekehrt entspricht der innere Rollkreis zur Konstruktion der Hypozykloide des gelben Zahnrades gleichzeitig dem äußeren Rollkreis für die Epizykloide des blauen Gegenrades. Diese Kopplung über die identischen Rollkreise bewirkt die Gültigkeit des Verzahnungsgesetztes, welches für ein konstantes Übersetzungsverhältnis notwendig ist (siehe hierzu auch das Kapitel Eingriffsverhalten). Beachte, dass eine Änderung im Rollkreisdurchmesser somit immer Auswirkungen auf die Zahnform beider Zahnräder hat!

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Animation: Konstruktion einerZykloide

Der Grundkreis entspricht bei einer Zykloidenverzahnung stets dem Teilkreis bzw. dem Wälzkreis. Der Berührpunkt der Wälzkreise entspricht dem Wälzpunkt. Der Teilkreisdurchmesser ermittelt sich analog zu einer Evolventenverzahnung aus dem Produkt von Modul \(m\) und Zähnezahl \(z\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{d = m \cdot z} \\[5px]
\end{align}

Auch der Kopfkreisdurchmesser \(d_a\) eines Zykloidenzahnrades lässt sich ebenfalls analog zu einem Evolventenzahnrad bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{d_a = d + 2 \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Alle weiteren geometrischen Zusammenhänge sind ausführlich im Kapitel Evolventenverzahnung dargelegt.

Die Rollkreise sind im Allgemeinen auf die Grundkreise abgestimmt bzw. stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander, da das Verhältnis von Rollkreisdurchmesser \(\delta\) zu Grundkreisdurchmesser \(d\) die Form der Zykloide bestimmt. Alle Zykloiden mit demselben Rollkreis-Grundkreis-Verhältnis sind zueinander ähnlich. Die Konstruktion der Hypozykloiden in der oberen Animation erfolgte mit einem Verhältnis von 0,35 zwischen Rollkreisdurchmesser und entsprechendem Grundkreisdurchmesser.

Da ein Rollkreis immer zur Konstruktion der Zahnform beider Zahnräder genutzt wird, sind im Allgemeinen die Zykloidenzahnradpaare aufeinander abgestimmt. Ein Zykloidenzahnrad kann in der Regel also nicht einfach durch ein Zahnrad mit anderer Zähnezahl ersetzt werden wie bei Evolventenzahnräder (sog. Satzräder). Das Herstellen von Satzrädern ist bei der Zykloidenverzahnung nur dann möglich, wenn die Rollkreise stets identisch gewählt werden und nur auf den Grundkreis des Hauptrades bezogen werden. Besonders günstig hat sich dabei das Verhältnis \(\frac{\delta}{d}=\frac{1}{3}\) gezeigt.

Eine Besonderheit in der Zahnform von Zykloidenzahnräder ergibt sich für den Fall, dass der Rollkreisdurchmesser der Hälfte des Teilkreisdurchmessers entspricht. In diesem Fall erhält man gerade Flanken die sich radial nach außen erstrecken. Eine solche Verzahnung wird auch als Uhrenverzahnung bezeichnet, da sie früher häufig in Uhrwerken wiederzufinden war (heutzutage kommt jedoch meist die Kreisbogenverzahnung bzgl. der Zahnkopfflanke zur Anwendung). 

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Animation: Zykloidenverzahnung mit gerade Fußflanken

Beachte, dass eine Hypozykloide nur konstruiert werden kann, wenn der Rollkreisdurchmesser kleiner oder im Extremfall gleich dem Teilkreis des Zahnrades ist. Ansonsten kann kein inneres Abrollen auf dem Grundkreis erfolgen! Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für die Konstruktion einer Epizykloide, dort können grundsätzlich beliebig große Rollkreise für das äußere Abrollen auf dem Grundkreis Verwendung finden. 

Dabei ergibt sich sogar ein wichtiger Spezialfall der Zykloidenverzahnung, wenn man den Rollkreis immer größer und größer werden lässt und im Extremfall schließlich unendlich wird (siehe Bild unten). In diesem Fall besitzt der Rollkreis letztlich eine unendlich kleine Krümmung und man erhält somit eine Rollgerade. Die entstehende (Epi-)Zykloide wird dann Evolvente genannt und die Verzahnung entsprechend als Evolventenverzahnung.

  • Die Evolventenverzahnung ist ein Spezialfall der Zykloidenverzahnung mit einem Rollkreis unendlichen Durchmessers.

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Abbildung: Von der Zykloide zur Evolvente

Die allgemeine Zykloidenform eines Zahnes weist im Eingriff ein günstigeres Verschleißverhalten und damit geringere Reibungsverluste im Vergleich zur Evolventenform auf. Ursache hierfür sind die geringeren Pressungskräfte, da im Eingriff stets eine konvexe und eine konkave Flanken aufeinander treffen und sich praktisch aneinander schmiegen. Darüber hinaus können mit einer Zykloidenverzahnung im Vergleich zur Evolventenverzahnung Zahnräder mit deutlich geringeren Grenzzähnezahlen ohne Unterschnitt hergestellt werden. Auf diese Weise sind bspw. Zahnräder mit nur drei Zähnen theoretisch realisierbar. Die untere Animation zeigt ein dreizahniges Zykloidenzahnrad welches in ein Zahnrad mit sechs Zähne greift. Das günstigere Reibungsverhalten und die geringen Grenzzähnezahlen sind Hauptgründe weshalb die Zykloidenverzahnung häufig in Uhren wiederzufinden ist/war.

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Animation: Zykloidenverzahnung mir drei und sechs Zähnen

Trotz der genannten Vorteile der Zykloidenverzahnung ist die Evolventenverzahnung aus fertigungstechnischen und praktischen Gründen dennoch die am meisten verwendete Verzahnungsart im Maschinenbau! Grund ist die relativ einfache fertigungstechnische Herstellung einer Evolventenform (gerade Werkzeugflanken) im Vergleich zur Zykloidenform (gekrümmte Werkzeugflanken). Darüber hinaus ist die Zykloidenverzahnung sehr empfindlich gegenüber einer ungenauen Einstellung des Achsabstandes, die dann zu Übersetzungsschwankungen führt. Aus diesen Gründen ist die Zykloidenverzahnung im Maschinenbau kaum vorzufinden sondern wird nur in speziellen Fällen wie bspw. in der Uhrenindustrie, bei Drehkolbengebläse oder für den Antrieb von Zahnstangen angewendet.

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