Berechnung der Teilung

Als Umfangsteilung (kurz: Teilung genannt) bezeichnet man den Abstand zweier gleichgerichteter Zahnflanken. Auf einem beliebigen Kreisdurchmesser \(d\) ergibt sich die Teilung \(p\) damit als Verhältnis von Umfangslänge \(\pi \cdot d\) und Zähnezahl \(z\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{p = \frac{\pi \cdot d}{z}} \\[5px]
\end{align}

Im Falle des Teilkreises mit dem Teilkreisdurchmesser \(d_0\) und erhält man die Umfangsteilung \(p_0\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{p_0 = \frac{\pi \cdot d_0}{z}} \\[5px]
\end{align}

Umfangs-Teilung, Berechnen, Grundkreis, Teilkreis, Evolventen-funktion, Zusammenhang, Eingriffsteilung, Normal-Eingriffswinkel

Abbildung: Umfangsteilung

Werden beide Gleichungen durcheinander dividiert, dann kann über die Umfangsteilung \(p_0\) ein Zusammenhang zwischen einem beliebig weiteren Durchmesser \(d\) und der sich dort ergebenden Umfangsteilung \(p\) hergestellt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{p}{p_0} = \frac{d}{d_0} \\[5px]
\label{p}
&\boxed{p = \frac{d}{d_0} \cdot p_0} \\[5px]
\end{align}

Des Weiteren kann das Verhältnis \(\tfrac{d}{d_0}\) über den zum Durchmesser \(d\) gehörenden Evolventenwinkel \(\alpha\) und den zum Teilkreisdurchmesser \(d_0\) gehörenden Evolventenwinkel \(\alpha_0\) (Normaleingriffswinkel) ausgedrückt werden, d.h. es wird ein Punkt auf der Evolvente betrachtet welcher sich auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(d\) befindet (\(\rightarrow \alpha\)) bzw. auf dem Teilkreis mit dem Durchmesser \(d_0\) liegt (\(\rightarrow \alpha_0\)):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\overbrace{d \cdot \cos(\alpha)}^{\text{Grundkreisdurchmesser } d_b} = \overbrace{d_0 \cdot \cos(\alpha_0)}^{\text{Grundkreisdurchmesser }d_b} \\[5px]
\label{d}
&\underline{   \frac{d}{d_0}=\frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha)}    } \\[5px]
\end{align}

Siehe hierzu auch das vorherige Kapitel bzw. das Kapitel Wälzkreisdurchmesser. Unter Berücksichtigung des Durchmesserverhältnisses aus Gleichung (\ref{d}) kann die Teilung \(p\) dann auch wie folgt bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{pp}
&p = \frac{d_0}{d} \cdot p_0= \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha)} \cdot p_0 = \frac{\overbrace{\cos(\alpha_0) \cdot p_0}^{p_e}}{\cos(\alpha)} = \frac{p_e}{\cos(\alpha)}   \\[5px]
\end{align}

Das in Gleichung (\ref{pp}) auftretende Produkt \(p_0 \cdot \cos(\alpha_0)\) entspricht - wie im Kapitel Zahnradherstellung gezeigt - gerade der Eingriffsteilung \(p_e\), d.h. dem Abstand zweier in Kontakt stehender Zahnflanken beim Eingriff auf der Eingriffslinie (siehe Abbildung unten). Damit gilt für die Teilung \(p\) auf einem beliebigen Durchmesser, welcher durch den Evolventenwinkel \(\alpha\) beschrieben wird:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p = \frac{p_e}{\cos(\alpha)}} \\[5px]
\end{align}

Für einen Evolventenpunkt auf dem Grundkreis \(d_b\) ergibt sich ein Evolventenwinkel von \(\alpha=0\) (siehe Abbildung oben) und die entsprechende Umfangsteilung \(p_b\) auf dem Grundkreis ist damit identisch mit der Eingriffsteilung \(p_e\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p_b = \frac{p_e}{\cos(0)}=p_e = p_0 \cdot \cos(\alpha_0) \\[5px]
\end{align}

Da die Umfangsteilung auf dem Teilkreis \(p_0\) auch über den Modul \(m\) und die Kreiszahl \(\pi\) ausgedrückt werden kann (\(p_0 = \pi \cdot m \), siehe hier), gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p_b = p_e = \pi \cdot m \cdot \cos(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

Eingriffsteilung, Umfangsteilung, Teilung, Eingriffsstrecke, Eingriffslinie, Grundkreis-durchmesser

Abbildung: Eingriffsteilung

Merke: Die Umfangsteilung auf dem Grundkreis \(p_b\) entspricht der Eingriffsteilung auf der Eingriffsstrecke \(p_e\), welche über den Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) und dem Modul \(m\) in Zusammenhang stehen!

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