Berechnung der Kopfkreiskürzung

 

Im Kapitel Profilverschiebungsfaktor wurde gezeigt, dass mit einer Profilverschiebung eine entsprechende Vergrößerung des Kopfkreisdurchmessers \(d_a\) und des Fußkreisdurchmessers \(d_f\) um den Betrag der (positiven) Profilverschiebung verbunden ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{d_a =  m \cdot (z+2x+2) }   \\[5px]
\label{f}
&\boxed{d_f =  m \cdot (z+2x-2) -2c }   \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet \(z\) die Zähnezahl, \(m\) den Modul, \(x\) den Profilverschiebungsfaktor und \(c\) das Herstellungs-Zahnkopfspiel. Letzteres ergibt sich durch das Werkzeugprofil bei der Zahnradherstellung. Das Herstellungs-Zahnkopfspiel \(c\) darf an dieser Stelle nicht mit dem Betriebs-Zahnkopfspiel \(c_b\) verwechselt werden, welches sich im Betrieb bei der Paarung zweier Zahnräder tatsächlich ergibt! So wurde im Abschnitt "Eingriffswinkel und Achsabstand" bereits erläutert, dass bei der spielfreien Paarung von korrigierten Zahnrädern im Betrieb eine Verringerung des Zahnkopfspiels im Vergleich zur Paarung von Nullrädern eintritt, da die Achsabstandsänderung geringer ist als die Summe der Profilverschiebungen [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung].

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Interaktive Abbildung: Betriebs-Zahnkopfspiel in Abhängigkeit der Profilverschiebung

Das in Gleichung (\ref{f}) angegebene Herstellungs-Zahnkopfspiel \(c\) bezieht sich also zunächst nur auf das Spiel zwischen Werkzeug und Zahnrad bei der Zahnradherstellung (siehe Abbildung unten). Das Zahnkopfspiel \(c_b\) bezeichnet hingegen das tatsächlich im Betrieb vorhandene Spiel zwischen Zahnkopf des einen Zahnrades und dem Zahngrund des Gegenrades. Nur bei Nullrädern sind beide Zahnkopfspiele identisch.

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Abbildung: Herstellungs-Zahnkopfspiel

Die Verringerung des Betriebspiels bei der Paarung von korrigierten Zahnrädern macht also dann eine Kürzung der Kopfkreise notwendig, wenn auch im Betrieb das geforderte Zahnkopfspiel \(c\) aufrecht erhalten werden soll [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung]. Auf welche Beträge \(d_a^\text{'}\) die Kopfkreise hierfür gekürzt werden müssen, soll im Folgenden gezeigt werden. Anhand der unteren Abbildung wird zunächst deutlich, dass sich das Betriebs-Zahnkopfspiel \(c_b\) ganz allgemein aus dem Achsabstand \(a\), dem Fußkreisdurchmesser \(d_{f1}\) des einen Zahnrades und des Kopfkreisdurchmessers \(d_{a2}\) des Gegenrades ermittelt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{cb}
&c_b = a - \frac{d_{f1}}{2} - \frac{d_{a2}}{2} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Kürzung der Kopfkreise 

Wird Gleichung (\ref{f}) in Gleichung (\ref{cb}) eingesetzt, dann lässt sich das Betriebs-Zahnkopfspiel \(c_b\) anhand des Herstellungs-Zahnkopfspiels \(c\) wie folgt bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&c_b = a - \frac{\overbrace{    m \cdot (z_1+2x_1-2) -2c      }^{d_{f1}}}{2} - \frac{d_{a2}}{2} \\[5px]
\label{cc}
&\boxed{c_b = a - m \cdot \left( \frac{z_1}{2} + x_1 - 1 \right) - \frac{d_{a2}}{2}  + c } \\[5px]
\end{align}

Soll nun der Kopfkreisdurchmesser so angepasst werden, dass das Betriebs-Zahnkopfspiel \(c_b\) dem Herstellunds-Zahnkopfspiel \(c\) entspricht, dann kann Gleichungen (\ref{cc}) unter der Bedingung \(c_b\overset{!}{=}c\) nach dem gesuchten Kopfkreisdurchmesser \(d_{a2}^\text{'}\) umgestellt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&c_b = a - m \cdot \left( \frac{z_1}{2} + x_1 - 1 \right) - \frac{d_{a2}^\text{'}}{2}  + c \overset{!}{=} c \\[5px]
&a - m \cdot \left( \frac{z_1}{2} + x_1 - 1 \right) - \frac{d_{a2^\text{'}}}{2} = 0   \\[5px]
\label{da2}
&\boxed{d_{a2}^\text{'} = 2 a - m \cdot \left(z_1 + 2 x_1 - 2 \right)   }  \\[5px]
\end{align}

Für den Kopfkreisdurchmesser \(d_{a1}^\text{'}\) gilt analog:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{da1}
&\boxed{d_{a1}^\text{'} = 2 a - m \cdot \left(z_2 +2 x_2 - 2 \right)   }  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Kopfkreiskürzungen gemäß den Gleichungen (\ref{da2}) und (\ref{da1}) nicht vom Zahnkopfspiel selbst abhängig sind!

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