Berechnung des Achsabstandes

Im Folgenden soll das Achsabstand zweier korrigierter Zahnräder in Abhängigkeit der jeweiligen Profilverschiebungsfaktoren \(x\) ermittelt werden. Ausgangspunkt bildet die spielfreie Paarung beider Zahnräder, sodass die Zahndicke auf dem Wälzkreis des einen Zahnrades exakt in die Zahnlücke auf dem Wälzkreis des Gegenrades passt. Die Summe der jeweiligen Zahndicken \(s_1\) bzw. \(s_2\) entspricht somit der Umfangsteilung \(p\) auf den Wälzkreisen der Zahnräder, welche für beide identisch sein muss, da ansonsten die Zähne nicht ineinandergreifen könnten. Die Umfangsteilung \(p\) auf den Wälzkreisen ist an dieser Stelle nicht zu verwechseln mit der Umfangsteilung \(p_0\) auf den Teilkreisen!

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{p}
& \underline{p = s_1 + s_2}  \\[5px]
\end{align}

Achsabstand, Berechnung, berechnen, Teilung, Wälzkreis-Durchmesser, Zahndicke, Zahnlücke

Abbildung: Teilung auf dem Wälzkreis

Die Zahndicke \(s\) auf einem beliebigen Kreisdurchmesser \(d\) lässt sich anahnd der im letzten Abschnitt hergeleiteten Gleichung ermitteln (Größen mit dem Index "0" beziehen sich auf den Teilkreis):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{s}
&s = d \left( \tfrac{s_{0}}{d_{0}} + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha) \right) ~~~\text{mit} ~~~ s_0 = m \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x \cdot \tan(\alpha_0) \right) ~~~\text{folgt}: \\[5px]
&s = d \left(\tfrac{m}{d_0} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha) \right) ~~~\text{mit}~~~m=\tfrac{d_0}{z} ~~~\text{folgt weiter:}  \\[5px]
&\underline{s = d \left(\tfrac{1}{z} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha) \right)}  \\[5px]
\end{align}

Da die Evolventenfunktion \(\text{inv}(\alpha)\) in diesem Fall auf die Wälzkreise \(d_1\) bzw. \(d_2\) angewendet wird, entspricht der Evolventenwinkel \(\alpha\) dem Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\). Insgesamt lässt sich Gleichung (\ref{p}) damit wie folgt darstellen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\notag
p =  &d_1 \left(\tfrac{1}{z_1} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_1 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
\label{pp}
&+  d_2 \left(\tfrac{1}{z_2} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_2 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
\end{align}

Die in Gleichung (\ref{pp}) enthaltenen Wälzkreisdurchmesser \(d_1\) bzw \(d_2\) können aus der Definition der Teilung \(p\) als Verhältnis von Wälzkreisumfang \(\pi \cdot d\) und Zähnezahl \(z\) bestimmt werden (\(p = \frac{\pi \cdot d}{z}\)). Für die Wälzkreisdurchmesser der beiden Zahnräder \(d_1\) und \(d_2\) gilt dann:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{d}
&d_1 = \frac{z_1 \cdot p}{\pi} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~d_2 = \frac{z_2 \cdot p}{\pi}  \\[5px]
\end{align}

Die Gleichungen (\ref{d}) können nun in Gleichung (\ref{pp}) eingesetzt werden, sodass folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\notag
p =  & \tfrac{z_1 \cdot p}{\pi} \left(\tfrac{1}{z_1} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_1 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
&+  \tfrac{z_2 \cdot p}{\pi} \left(\tfrac{1}{z_2} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_2 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
\end{align}

Auflösen dieser Gleichung nach dem gesuchten Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) in Form der Involut-Funktion \(\text{inv}(\alpha_b)\) führt schließlich zu:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\notag
\boxed{\text{inv}(\alpha_b) = 2 \frac{x_1+x_2}{z_1+z_2} \cdot \tan(\alpha_0) + \text{inv}(\alpha_0)} ~~~\text{mit} ~~~\boxed{\text{inv}(\alpha_0) = \tan(\alpha_0)-\alpha_0} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Involut-Funktion keine algebraische Funktion ist und somit nicht durch Umstellen eine Umkehrfunktion abgeleitet werden kann. Eine Möglichkeit zur Bestimmung des Betriebseingriffswinkels bietet an dieser Stelle das iterative Newton-Verfahren.

Achsabstand, Berechnung, berechnen, Teilung, Wälzkreis-Durchmesser, Eingriffswinkel

Abbildung: Eingriffswinkel

Ist der Betriebseingriffswinkel durch ein solches Näherungsverfahren bestimmt, dann kann hieraus nicht nur der Wälzkreisdurchmesser sondern auch der Achsabstand \(a\) ermittelt werden, da Wälzkreisdurchmesser \(d\) und Teilkreisdurchmesser \(d_0\) über den Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) und den Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) in Zusammenhang stehen (siehe hier)

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{d  = d_0 \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)}} ~~~\text{Wälzkreisdurchmesser}  \\[5px]
\end{align}

und sich der Achsabstand \(a\) schließlich über die Summe der Wälzkreisradien \(r=\frac{d}{2}\) ergibt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
a &= r_1+r_2 \\[5 px]
&= \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} \\[5px]
& = \frac{d_{0,1}}{2}  \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)} + \frac{d_{0,2}}{2} \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)} \\[5px]
& = (d_{0,1}+d_{0,2}) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)}  \\[5px]
& = (m \cdot z_1 + m \cdot z_2) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)}  \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{a = m \cdot( z_1 + z_2) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)}}  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass Zahnräder auch mit negativen Profilverschiebungsfaktoren hergestellt werden können. Ist die Summe der Profilverschiebungsfaktoren Null, dann erhält man denselben Achsabstand wie im Falle von nicht-korrigierten Zahnrädern (Null-Achsabstand \(a_0\) genannt). Auch der Betriebseingriffswinkel entspricht dann dem Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\). In diesen Fällen spricht man auch von einem sogenannten V-Null-Getriebe. Ist die Summe der Profilverschiebungsfaktoren hingegen größer Null, dann wird das Getriebe V-Plus-Getriebe genannt. Demzufolge erhält man mit einer Summe kleiner Null ein V-Minus-Getriebe.
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{V-Null-Getriebe: } &&x_1+x_2 = 0 \\[5px]
&\text{V-Plus-Getriebe: } &&x_1+x_2 > 0 \\[5px]
&\text{V-Minus-Getriebe: } &&x_1+x_2 < 0 \\[5px]
&\text{Null-Getriebe: } &&x_1=x_2 = 0 \\[5px]
\end{align}

Bei V-Plus-Getrieben vergrößert sich sowohl der Betriebseingriffswinkel als auch der Achsabstand im Vergleich zu einem Null-Getriebe. Bei V-Minus-Getrieben erhält man eine Verkleinerung des Achsabstandes und des Betriebseingriffswinkels.

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