Berechnung der Zahndicke

Mithilfe der im vorangegangenen Abschnitt erläuterten Evolventenfunktion (involut-Funktion) kann die Zahndicke \(s\) auf einem beliebigen Durchmesser \(d\) eines Zahnrades ermittelt werden. Die geometrischen Verhältnisse zeigt die untere Abbildung. Darin bezeichnet \(s_0\) die Zahndicke auf dem Teilkreis und \(r_0\) den entsprechenden Teilkreisradius. Die Zahndicke in einem beliebigen Abstand \(r\) zum Grundkreismittelpunkt \(G\) sei mit \(s\) bezeichnet. 

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Abbildung: Berechnung der Zahndicke

Die Herleitung zur Berechnung der Zahndicke \(s\) geschieht über das gelb markierte Dreieck in den oberen Abbildungen. Wie in der linken Abbildung skizziert, kann der spitze Winkel des gelben Dreiecks zum einen über die Differenz der Winkel \(\delta_0\) und \(\delta\) ermittelt werden, wobei sich die einzelnen Winkel gemäß der Definition des Bogenmaßes als "Bogenlänge geteilt durch Bogenradius" wie folgt ermitteln:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{delta}
\underline{\delta_0} =\frac{\tfrac{s_0}{2}}{r_0}=\frac{s_0}{2 r_0} =\underline{\frac{s_0}{d_0}}  ~~~~\text{und}~~~~ \underline{\delta} =\frac{\tfrac{s}{2}}{r}=\frac{s}{2 r} = \underline{\frac{s}{d}}  \\[5px]
\end{align}

Zum anderen lässt sich der spitze Winkel des gelben Dreiecks aber auch durch die Differenz der Winkel \(\varphi\) und \(\varphi_0\) bestimmen (siehe obere, rechte Abbildung). Damit gilt also folgende Beziehung zwischen den Winkeln \(\delta\) und \(\varphi\) bzw. \(\delta_0\) und \(\varphi_0\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
 \delta -  \delta_0 &= \varphi_0 - \varphi \\[5px]
 \frac{s}{d} -  \frac{s_0}{d_0} &= \varphi_0 - \varphi \\[5px]
\end{align}

Die obere Gleichung lässt sich nun nach der gesuchten Zahndicke \(s\) in Abhängigkeit des betrachteten Durchmessers \(d\) auflösen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
s &= d \left( \frac{s_0}{d_0} + \varphi_0 - \varphi \right) \\[5px]
\end{align}

Die Winkel \(\varphi\) und \(\varphi_0\) entsprechen den Winkel die sich mithilfe der Evolventenfunktion \(\text{inv}(\alpha)\) bestimmen lassen.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{ss}
\underline{s = d \left( \frac{s_0}{d_0} + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha) \right)} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Involut-Funktion zur Berechnung der Zahndicke

Bei Anwendung der Gleichung (\ref{ss}) muss beachtet werden, dass die Zahndicke auf dem Teilkreis \(s_0\) von einer möglichen Profilverschiebung abhängig ist. Im Abschnitt "Vergrößerung der Zahndicke" wurde der Zusammenhang zwischen dem Profilverschiebungsfaktor \(x\) und der Zahndicke \(s_0\) hergeleitet (mit \(m\) als Modul des Zahnrades):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{s}
&\underline{s_0 = m \cdot \left(\frac{\pi}{2} +2 \cdot x \cdot \tan(\alpha_0)  \right) }  \\[5px]
\end{align}

Im vorangegangenen Abschnitt wurde erläutert, dass der Evolventenwinkel \(\alpha\) in Gleichung (\ref{ss}) letztlich dem Betriebseingriffswinkel entspricht sofern sich der betrachtete Punkt \(P\) auf dem Wälzkreis befindet. Im Falle des Punktes \(P_0\), welcher sich auf dem Teilkreis befindet, ist der Evolventenwinkel \(\alpha_0\) dann identisch mit dem Normaleingriffswinkel. Dieser ist bei einer Normverzahnung mit \(\alpha_0\)=0,349 rad (=20°) festgelegt.

Auch wenn der betrachtete Punkt \(P\) auf dem Kreis auf dem die Zahndicke \(s\) ermittelt werden soll nicht notwendigerweise dem späteren Wälzkreis entspricht, so kann jedoch jeder beliebige Punkt \(P\) immer als auf einem Wälzkreis liegend betrachtet werden. Denn letztlich ergibt sich der Wälzkreis erst durch den Achsabstand bei der späteren Paarung mit einem Gegenrad. Da der Achsabstand grundsätzlich beliebig gewählt werden kann, kann der Wälzkreis theoretisch auch immer so angepasst werden, dass dieser durch den Punkt \(P\) verläuft.

Durch diese Betrachtung lässt sich dann ein Zusammenhang zwischen dem (Wälzkreis)Durchmesser \(d\) des Kreises auf dem die Zahndicke \(s\) bestimmt werden soll und dem (Eingriffs-)Winkel \(\alpha\) herstellen. Der Zusammenhang geschieht über den Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) und dem entsprechenden Teilkreisdurchmesser \(d_0\) und wurde im Kapitel "Wälzkreisdurchmesser" bereits hergeleitet. Ansatz dieses Zusammenhangs ist der identische Grundkreisdurchmesser \(d_b\) welcher sowohl bei Betrachtung des Wälzkreises (mit den Größen \(d\) und \(\alpha\)) als auch bei Betrachtung des Teilkreises (mit den Größen \(d_0\) und \(\alpha_0\)) identisch ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\overbrace{d \cdot \cos(\alpha)}^{\text{Grundkreisdurchmesser } d_b} = \overbrace{d_0 \cdot \cos(\alpha_0)}^{\text{Grundkreisdurchmesser }d_b} \\[5px]
\label{z}
&\underline{\alpha = \arccos \left(\frac{d_0}{d} \cdot \cos(\alpha_0)\right)} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Der Winkel \(\alpha\) in Gleichung (\ref{z}) und in den folgenden Gleichungen entspricht im Allgemeinen also nicht dem Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\), weshalb an dieser Stelle auch nur die Bezeichnung \(\alpha\) verwendet wird, ohne Index "\(b\)"! Der Winkel \(\alpha\) ergibt sich als lediglich als "Rechengröße", je nachdem welcher Durchmesser \(d\) auf dem die Zahndicke bestimmt werden soll betrachtet wird. Nur wenn der betrachtete Durchmesser \(d\) tatsächlich dem Wälzkreisdurchmesser entspricht, dann ist der Winkel \(\alpha\) mit dem Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) identisch bzw. mit dem Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) gleichzusetzen wenn der betrachtete Durchmesser dem Teilkreis entspricht.

Mit der Definition der Evolventenfunktion als

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{\text{inv}(\alpha) = \tan(\alpha)-\alpha}  \\[5px]
\end{align}

ist die Zahndicke \(s\) auf einem beliebigen Kreis mit dem Durchmesser \(d\) somit vollständig bestimmt. Nachfolgend sind die hierzu notwendigen Gleichungen nochmals zusammengefasst:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{s = d \left( \frac{s_0}{d_0} + \text{inv}(\alpha_0) - \text{inv}(\alpha) \right)} \\[5px]
&\text{mit} \\[5px]
&\boxed{s_0 = m \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2 \cdot x \cdot \tan(\alpha_0) \right)}  \\[5px]
&\boxed{\text{inv}(\alpha_0) = \tan(\alpha_0)-\alpha_0} ~~~~~\text{mit}~~~~~ \boxed{\alpha_0 =0,349 \text{ rad } (=20°)} \\[5px]
&\boxed{\text{inv}(\alpha) = \tan(\alpha)-\alpha} ~~~~~\text{mit}~~~~~ \boxed{\alpha = \arccos \left(\frac{d_0}{d} \cdot \cos(\alpha_0)\right) } \\[5px]
\end{align}

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