Evolventenfunktion

Die untere Abbildung zeigt die zum Grundkreis mit dem Radius \(r_b\) gehörende Evolvente. Ein Punkt \(P\) auf dieser Evolvente lässt sich durch den Winkel \(\alpha\) beschreiben, welcher zwischen den Geraden \(\overline{GP}\) und \(\overline{GT}\) aufgespannt wird. Der Punkt \(G\) entspricht dabei dem Mittelpunkt des Grundkreises und \(T\) dem Tangentenpunkt auf dem Grundkreis. Die Länge der Strecke \(\overline{TP}\) ist mit dem Krümmungsradius \(\rho\) der Evolvente im Punkt \(P\) identisch. Zudem entspricht die bereits auf dem Grundkreis abgerollte Strecke \(\overline{TP}\) der bogenförmigen Abrollstrecke auf dem Grundkreis \(\overset{\frown}{ST}\) (rote Linien), da die Rollgerade gleitfrei auf dem Grundkreis abwälzt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
\overset{\frown}{ST} &= \overline{TP} \\[5px]
\end{align}

Evolventenverzahnung, Evolventenfunktion, Involut, Definition, Formel, Herleitung, Grundkreis, Evolvente, inv

Abbildung: Evolventenfunktion

Der Winkel \(\alpha\) beschreibt zwar eindeutig einen Punkt auf der Evolvente, für viele geometrische Berechnungen ist jedoch der in der Abbildung eingezeichnete Winkel \(\varphi\) von größerer direkter Bedeutung. Salopp formuliert beschreibt der Winkel \(\varphi\) die "Breite" des aus der Evolvente entstehenden Zahnes, genauer: den Winkel zwischen der Verbindungslinie von Grundkreismittelpunkt \(G\) zum Startpunkt der Evolvente \(S\) und von Grundkreismittelpunkt \(G\) zu Punkt \(P\).

Mithilfe von Gleichung (\ref{1}) lässt sich zwischen den Winkeln \(\varphi\) und \(\alpha\) folgender Zusammenhang herstellen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\overset{\frown}{ST} &= \overline{TP}  \\[5px]
r_b \cdot \left(\varphi + \alpha \right) &= r_b \cdot \tan(\alpha)  \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{p}
&\boxed{\varphi = \tan(\alpha)-\alpha} \\[5px]
\end{align}

Die sich nach Gleichung (\ref{p}) ergebende Funktion wird auch als Evolventenfunktion oder als Involut-Funktion \(\text{inv}(\alpha)\) bezeichnet (engl.: involut = Evolvente). Alle Winkel sind für die Involut-Funktion sind grundsätzlich im Bogenmaß anzugeben!

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\text{inv}(\alpha) = \tan(\alpha)-\alpha}  = \varphi ~~~\text{Involut-Funktion, Evolventenfunktion}  \\[5px]
\end{align}

Die Evolventenfunktion \(\text{inv}(\alpha)\) ordnet sozusagen zu einem Evolventenpunkt \(P\) (beschrieben durch den Winkel \(\alpha\)) den sich zur Senkrechten (genauer: zum Startpunkt der Evolvente) ergebenden Winkel \(\varphi\) zu. Auf diese Weise können viele geometrische Zahnradgrößen bestimmt werden.

Dass der Evolventenwinkel wie auch der Eingriffswinkel mit demselben Symbol \(\alpha\) bezeichnet werden, ist an dieser Stelle kein Zufall! Der Evolventenwinkel \(\alpha\) in der Evolventenfunktion lässt sich nämlich als Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) interpretieren, wenn sich der betrachtete Punkt \(P\) auf dem Wälzkreis des Zahnrades befindet und somit den Wälzpunkt \(C\) bildet (\(P=C\))! 

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Abbildung: Eingriffswinkel und Evolventenfunktion

Da die Eingriffslinie letztlich durch die Tangente an den Grundkreis gebildet wird, welche gleichzeitig durch den Wälzpunkt \(C\) verläuft, ist die Strecke \(\overline{TP}\) somit ein Teil der Eingriffslinie. Der Evolventenwinkel \(\alpha\) entspricht damit dem Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\). Befindet sich der Punkt \(P\) auf dem Teilkreis des Zahnrades, dann erhält man als Winkel den Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\)!

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