Unterschnitt

Die unten abgebildete Animation zeigt schematisch den Herstellungsprozess zweier Zahnräder mit unterschiedlichen Zähnezahlen durch Wälzfräsen. Dabei wird der Unterschied in den Zahnformen beider Zahnräder deutlich. Es zeigt sich, dass bei zu geringen Zähnezahlen während der Zahnradfertigung offensichtlich ein Untergraben des Zahnfußes durch den Wälzfräser eintritt [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Die Evolvente wird hierdurch praktisch abgeschnitten. Ein solcher Unterschnitt führt zur Schwächung des Zahnes und zur Verringerung der Eingriffsstrecke. Unterschnitte gilt es deshalb stets zu vermieden, d.h. die Anzahl der Zähne darf ein Minimum nicht unterschreiten.

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Interaktive Animation: Herstellen eines 6-zahnigen (gelb) und eines 18-zahnigen Zahnrades (blau)

Ein solcher Unterschnitt bei geringen Zähnezahlen ist allerdings nicht nur fertigungstechnisch bedingt, sondern er muss auch funktionsbedingt vorhanden sein. Ansonsten könnte das Gegenzahnrad mit seinen Zähnen nicht mehr in das eigentliche Zahnrad greifen (kämmen genannt). Dies bedeutet, dass auch die Zähne des Gegenrades den eigentlichen Zahn untergraben müssen, damit die Zähne sich nicht gegenseitig verhaken.

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Animation: Konstruktiver Unterschnitt beim Kämmen

Welche Zähnezahl mindestens vorhanden sein muss, damit ein Unterschitt nicht auftritt wird im Folgenden gezeigt. Zunächst ist festzuhalten, dass ein Unterschnitt immer dann auftritt, wenn die Ecke des Bezugsprofil (Punkt \(A\) bzw. Punkt \(B\)) in den Grundkreis einschneitet. Für den Grenzfall bei dem noch kein Unterschnitt auftritt, tangiert somit die Profilecke \(B\) gerade den Grundkreis. [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]

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Interaktive Abbildung: Unterschnitt

Wie aus dem Vergleich der beiden oberen Abbildungen mit den unterschiedlichen Zahnrädern hervorgeht, muss die Profilecke \(B\) damit stets innerhalb der Strecke \(\overline{CD}\) liegen, sodass kein Unterschnitt auftritt [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung bzw. betrachte die untere Abbildung]. Demzufolge kommt es bei dem Zahnrad mit der Zähnezahl \(z_1\) = 6 zu einem Unterschnitt, während das Zahnrad mit der Zähnezahl \(z_2\) = 20 kein Unterschnitt aufweist. 

Im Grenzfall fällt folglich der Punkt \(B\) und \(D\) zusammen, was in diesem Fall für ein Zahnrad mit der Zähnezahl \(z_3\)= 17 ungefähr zutrifft [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung].

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Interaktive Abbildung: Vermeidung von Unterschnitt oberhalb der Grenzzähnezahl

Aus den sich ergebenden geometrischen Verhältnissen bei dieser Grenzbetrachtung, kann eine solche Grenzzähnezahl \(z_g\) auch für andere Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) rechnerisch ermittelt werden. Wird in der unteren Abbildung das sich ergebende orangefarbene Dreieck betrachtet, so zeigt sich, dass die Gegenkathete bezüglich des Normeingriffwinkels \(\alpha_0\) gerade dem Modul \(m\) des Zahnrades entspricht (siehe hierzu auch das Kapitel Zahnradherstellung). Folglich gilt für die Strecke \(\overline{CD}\) die unten angegebene Beziehung.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
& \overline{CD} =\frac{m}{\sin(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Herleitung der Grenzzähnezahl zur Vermeidung von Unterschnitt

Die Strecke \(\overline{CD}\) kann auch aus dem Teilkreisradius \(r_0\) bzw. dem Teilkreisdurchmesser \(d_0\) ermittelt werden (siehe gelbes Dreieck). Der Teilkreisdurchmesser \(d_0\) ergibt sich dabei aus der Multiplikation des Moduls \(m\) mit der (Grenz-)Zähnezahl \(z_g\) (siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2}
& \overline{CD} = r_0 \cdot sin(\alpha_0) = \frac{d_0}{2} \cdot \sin(\alpha_0) = \frac{m \cdot z_g}{2} \cdot \sin(\alpha_0)  \\[5px]
\end{align}

Die beiden Gleichungen (\ref{1}) und (\ref{2}) können nun gleichgesetzt und nach der gesuchten Grenzzähnezahl \(z_g\) aufgelöst werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\overline{CD} = \overline{CD} \\[5px]
&\frac{m}{\sin(\alpha_0)} = \frac{m \cdot z_g}{2} \cdot \sin(\alpha_0) \\[5px]
&\boxed{z_g = \frac{2}{\sin^2(\alpha_0)} } \\[5px]
\end{align}

Für einen Normaleingriffswinkel von \(\alpha_0\) = 20 ° ergibt sich somit eine theoretische Grenzzähnezahl von \(z_g\) = 17. In der Praxis geht man bei einer Normverzahnung jedoch von einer Grenzzähnezahl von 14 Zähnen aus, bei der sich ein Unterschnitt dann tatsächlich negativ bemerkbar macht.

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