Profilverschiebungsfaktor

Zahnräder, die mit einer Profilverschiebung hergestellt werden, bezeichnet man auch als korrigierte Zahnräder. Die Profilverschiebung \(V\) wird durch einen Profilverschiebungsfaktor \(x\) in Bezug auf den Modul \(m\) angegeben. Bei positiven Faktoren (\(x>0\)) wird das Werkzeugprofil nach außen verschoben und bei negativen Faktoren (\(x<0\)) nach innen (gilt für Außenverzahnung).

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{V = x \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Animation, Profilverschiebung, Profilverschiebungsfaktor, Unterschnitt, Evolventenverzahnung, Zahnrad, V+-Rad, korrigierte

Interaktive Animation: Profilverschiebung

Ein Profilverschiebungsfaktor von bspw. \(x\)=+0,25 bedeutet anschaulich, dass das Werkzeugprofil um das 0,25-fache des Moduls nach außen verschoben wird. Dabei vergrößern sich im Allgemeinen sowohl der Fußkreis- als auch der Kopfkreisradius entsprechend um den Betrag der Profilverschiebung.

Für nicht-korrigierte Zahnräder ohne Profilverschiebung (auch Nullräder genannt) wurde im Abschnitt Zahnradgrößen die Berechnung des Fußkreisdurchmessers \(d_{f,0}\) und des Kopfkreisdurchmessers \(d_{a,0}\) erläutert. Diese ergeben sich anhand des Moduls \(m\) und der Zähnezahl \(z\), wobei beim Fußkreisdurchmesser zusätzlich noch ein Zahnkopfspiel \(c\) berücksichtigt wird:

\begin{align}\;\;\;\;\;
d_{a,0} &= m \cdot (z+2)   ~~~&&\text{gilt nur für Nullräder}\\[5px]
d_{f,0} &= m \cdot (z-2) - 2 \cdot c   ~~~&&\text{gilt nur für Nullräder}\\[5px]
\end{align}

Nun zeigt sich, dass die Kopfkreisradien und die Fußkreisradien bei korrigierten Zahnrädern um den Betrag der (positiven) Profilverschiebung \(V\) vergrößert werden. Für die entsprechenden Durchmesser gilt in diesem Fall dann:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&d_a = d_{a,0} + 2 \cdot V = m \cdot (z+2) + 2 \cdot V = m \cdot (z+2) + 2 \cdot m \cdot x     \\[5px]
\label{a}
&\boxed{d_a =  m \cdot (z+2x+2)}   ~~~\text{gilt allgemein, ohne Kopfkreiskürzung}\\[5px]
&d_f = d_{f,0} + 2 \cdot V = m \cdot (z-2) - 2 \cdot c + 2 \cdot V =  m \cdot (z-2) - 2 \cdot c + 2 \cdot m \cdot x   \\[5px]
&\boxed{d_f =  m \cdot (z+2x-2) -2c }   ~~~\text{gilt allgemein}\\[5px]
\end{align}

Wie aus der oberen Animation weiter ersichtlich wird, vergrößert sich bei einer positiven Profilverschiebung die Zahnfußbreite \(s_f\) und damit die Zahnstabilität. Hierdurch kann letztlich ein Unterschnitt vermieden werden! Gleichzeitig verringert sich jedoch die Zahnkopfbreite \(s_a\). Eine Profilverschiebung hat auch Auswirkungen auf die Zahnbreite und Zahnlücke, die sich auf dem Teilkreis ergibt. Während sich die Zahnbreite \(s_0\) auf dem Teilkreis vergrößert, verringert sich die Zahnlücke \(e_0\) entsprechend. Die genaueren Berechnungen hierzu sind im nachfolgenden Abschnitt gezeigt.

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Interaktive Abbildung: Änderungen der Zahngeometrie bei der Profilverschiebung

Um ein Ausbrechen des Zahnkopfes durch eine zu starke Verringerung der Zahnkopfbreite bei einer Profilverschiebung zu vermeiden, muss bei zu geringer Zahnkopfbreite der Kopfkreisdurchmesser gekürzt werden, sodass eine gewisse Stabilität erhalten bleibt. Das Kürzen des Kopfkreisdurchmessers sollte dabei so erfolgen, dass als Kopfzahnbreite mindestens das 0,2-fache des Moduls vorhanden ist. Beachte, dass in Gleichung (\ref{a}) eine solche Kopfkreiskürzung nicht berücksichtigt ist. Nähere Informationen hierzu finden sich im entsprechenden Kapitel wieder.

Die untere Animation zeigt die Profilverschiebung eines 6-zahnigen Zahnrades zur Vermeidung von Unterschnitt. In diesem Fall verringert sich die Zahnkopfbreite sogar so stark, dass die Evolventen spitz zulaufen (schwarze Strich-Punkt-Linie), bevor der verschobene Kopfkreisdurchmesser erreicht wird (schwarze Volllinie). Die Vergrößerung des Kopfkreisradius um den Betrag der Profilverschiebung kann in diesem Fall also nicht aufrecht erhalten werden - der Kopfkreisdurchmesser wird gekürzt. Zusätzlich müsste der Kopfkreis zur Zahnkopfstabilisierung auf mindestens 20% des Moduls nochmals gekürzt werden. Mit einer so starken Kürzung des Kopfkreises ist dann jedoch auch eine entsprechend große Verringerung der Eingriffsstrecke verbunden (im Abschnitt "Achsabstand und Eingriffwinkel" mehr dazu).

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Animation: Kopfkreiskürzung

Die zur Vermeidung des Unterschnitts durch eine positive Profilverschiebung verlängerten Evolventen laufen unterhalb einer Zähnezahl von \(z\)= 7 grundsätzlich spitz zu (\(s_a\)=0). Wie das Beispiel mit 6 Zähnen zeigt, müsste der Kopfkreisdurchmesser dann allerdings so stark gekürzt werden, sodass sich auch die Eingriffsstrecke hierdurch nochmals deutlich verringert. Evolventenzahnräder mit Zähnezahlen unterhalb der Mindestzähnezahl \(z_{min}\)=7 sollten deshalb grundsätzlich vermieden werden.

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