Profilverschiebungsfaktor zur Vermeidung von Unterschnitt

Im Kapitel Unterschnitt wurde gezeigt, dass es bei Unterschreiten einer Grenzzähnezahl von \(z_g\)=17 zu einem Unterschnitt kommt, der den Zahn untergräbt und diesen somit schwächt. Das Kapitel Profilverschiebung lieferte hierfür eine Möglichkeit einen solchen Unterschnitt durch eine gezielte Profilverschiebung \(V\) vollständig zu kompensieren. Dabei stellt sich nun die Frage wie der Profilverschiebungsfaktor \(x\) zur Vermeidung eines Unterschnitts bei gegebener Zähnezahl \(z<z_g\) gewählt werden muss. Antwort auf diese Frage soll dieses Kapitel geben. 

Wie ebenfalls im Kapitel Unterschnitt erläutert, muss für die Vermeidung eines Unterschnitts der Schnittpunkt \(B\) zwischen der Bezugsprofilhöhe (auf Höhe Punkt \(A\)) und der Eingriffsgeraden innerhalb der Strecke \(\overline{CD}\) liegen. Die Verschiebung des Punktes \(B\) auf den Bereich innerhalb des Abschnittes \(\overline{CD}\) wird dabei durch eine positive Profilverschiebung erreicht. Im Grenzfall fällt der Punkt \(B\) gerade mit dem Punkt \(D\) zusammen [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Aus den sich nun ergebenden geometrischen Verhältnissen, kann bei gegebenem Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) der Profilverschiebungsfaktor \(x\) ermittelt werden.

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Interaktive Abbildung: Profilverschiebung zur Vermeidung von Unterschnit

Wird nach der Profilverschiebung das sich bildende orangefarbene Dreieck betrachtet, so zeigt sich, dass die Gegenkathete bezüglich des Eingriffwinkels \(\alpha_0\) der Differenz aus dem Modul \(m\) und der Profilverschiebung \(V= x \cdot m\) entspricht. Folglich gilt für die Strecke \(\overline{CD}\) folgende Beziehung:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\sin(\alpha_0) = \frac{m-V}{\overline{CD}}= \frac{m-m \cdot x}{\overline{CD}} = \frac{m\cdot (1-x)}{\overline{CD}} \\[5px]
\label{1}
&\underline{\overline{CD} = \frac{m \cdot (1-x)}{\sin(\alpha_0)}} \\[5px]
\end{align} 

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Interaktive Abbildung: Herleitung des Profilverschiebungsfaktors zur Vermeidung von Unterschnit

Die Strecke \(\overline{CD}\) kann auch aus dem Teilkreisradius \(r_0\) bzw. dem Teilkreisdurchmesser \(d_0\) ermittelt werden (gelbes Dreieck). Der Teilkreisdurchmesser ergibt sich dabei aus der Multiplikation des Moduls \(m\) mit der Zähnezahl \(z\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\overline{CD} = r_0 \cdot \sin(\alpha_0) = \frac{d_0}{2} \cdot \sin(\alpha_0) = \frac{m \cdot z }{2} \cdot \sin(\alpha_0) \\[5px]
\label{2}
&\underline{\overline{CD} = \frac{m \cdot z}{2} \cdot \sin(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

Die beiden Gleichungen (\ref{1}) und (\ref{2}) können nun gleichgesetzt und nach dem gesuchten Profilverschiebungsfaktor \(x\) aufgelöst werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\overline{CD} = \overline{CD}  \\[5px]
&\frac{m \cdot (1-x)}{\sin(\alpha_0)} = \frac{m \cdot z}{2} \cdot \sin(\alpha_0) \\[5px]
&\underline{x = 1-z \cdot \frac{\sin^2(\alpha_0)}{2}  } \\[5px]
\end{align}

Ferner kann ausgenutzt werden, dass der Faktor \(\tfrac{\sin^2(\alpha_0)}{2}\) in der Formel gerade dem Kehrwert der Grenzzähnezahl \(z_g\) entspricht, ab der ohne Profilverschiebung ein Unterschnitt auftreten würde (Herleitung der Gleichung siehe Kapitel Unterschnitt). Für eine Normverzahnung mit \(\alpha_0\)=20° beträgt diese Grenzzähnezahl in der Theorie \(z_g\)=17. Damit kann der benötigte Profilverschiebungsfaktor \(x\) zur Vermeidung eines Unterschnitts wie folgt ermittelt werden.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{x = 1-\frac{z}{z_g} } ~~~ \text{mit } z_g=17 \\[5px]
\end{align}

Für ein Normzahnrad mit einer Zähnezahl von bspw. \(z\) = 8 Zähnen beträgt dieser Profilverschiebungsfaktor \(x\)=0,53. In der Praxis kann häufig ein leichter Unterschnitt ohne größere negative Auswirkungen in Kauf genommen werden, sodass in diesen Fällen mit einer Grenzzähnezahl von \(z_g=14\) gerechnet wird.

Beachte, dass für eine Zähnezahl, die größer als die Grenzzähnezahl ist (\(z>z_g\)), der Profilverschiebungsfaktor negativ wird. Dies bedeutet, dass theoretisch eine negative Profilverschiebung vorgenommen werden kann, ohne dass es dabei zu einem Unterschnitt kommt.

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