Übersetzungsverhältnis

Beim Eingriff zweier Zahnräder entspricht die Kraftübertragungsrichtung der Normalen im Berührungspunkt zweier Zahnflanken. Dies wiederum entspricht gerade der Eingriffslinie, d.h. der Tangente an die jeweiligen Grundkreise, auf denen die Evolventenflanken konstruiert wurden.

Evolventenverzahnung, Übersetzungsverhältnis, Eingriffslinie, Tangente, Grundkreise, Kraftübertragung

 

Abbildung: Kräfteverhältnisse

Für das Übersetzungsverhältnis \(i\) ist also zunächst das Verhältnis der jeweiligen Grundkreisradien \(r_b\) entscheidend, da diese Hebelarme senkrecht zur Kraft gerichtet sind und damit für das Drehmoment die entscheidende Rolle spielen.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{i}
&\boxed{i =\frac{r_{b2}}{r_{b1}}} \\[5px]
\end{align}

Um ein gleichbleibendes Übersetzungsverhältnis zu erzielen muss also die Kraftübertragungsrichtung – d.h. die Normale im Berührungspunkt zweier Zahnflanken – stets durch den Wälzpunkt \(C\) verlaufen. Dieser Sachverhalt wird auch als allgemeines Verzahnungsgesetz bezeichnet. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich durch die stets ändernde Kraftrichtung auch dauernd ein anderer senkrechter Hebelarm bzgl. der Drehachse einstellen und damit Drehmomentschwankungen verursachen. Das Übersetzungsverhältnis wäre folglich nicht konstant.

Über den Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) stehen die jeweiligen Grundkreisradien \(r_b\) mit den entsprechenden Wälzkreisradien \(r\) in einer bestimmten Beziehung:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{r}
&r_b = r \cdot \cos(\alpha_b) \\[5px]
\end{align}

Anstelle der Radien können auch die entsprechenden Durchmesser, d.h. der Grundkreisdurchmesser \(d_b=2 \cdot r_b\) bzw. der Wälzkreisdurchmesser \(d=2\cdot r\) eingesetzt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{d}
&\boxed{d_b = d \cdot \cos(\alpha_b)} \\[5px]
\end{align}

Evolventenverzahnung, Achsabstand, Übersetzungsverhältnis, Wälzkreis-Durchmesser, Eingriffswinkel

 Interaktive Abbildung: Einfluss des Achsabstandes auf den Eingriffswinkel

Das Übersetzungsverhältnis \(i\) eines Zahnradpaares ergibt sich mit Gleichung (\ref{r}) und (\ref{i}) somit auch über das Verhältnis der jeweiligen Wälzkreisdurchmesser \(d\) bzw. Teilkreisdurchmesser:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{g}
&i =\frac{r_{b2}}{r_{b1}} = \frac{r_2 \cdot \cos(\alpha_b)}{r_1 \cdot \cos(\alpha_b)} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{d_2}{d_1}  \\[5px]
\label{a}
&\boxed{i = \frac{d_2}{d_1}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass sich der Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) in Gleichung (\ref{a}) herauskürzt. Dies bedeutet, dass selbst eine Änderung im Achsabstand \(a\) zweier Zahnräder keine Auswirkungen auf das Übersetzungsverhältnis \(i\) bedingt, da sich die Grundkreisradien in Gleichung (\ref{g}) nicht ändern [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]. Die Evolventenverzahnung ist bzgl. des Übersetzungsverhältnisses somit unempfindlich gegenüber Achsabstandsänderungen. Nicht zuletzt deshalb (und aufgrund der relativ einfachen Herstellung) wird diese Verzahnungsart im Maschinenbau vorwiegend verwendet.

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