Wälzkreisdurchmesser

Wie im Kapitel Eingriffslinie gezeigt, stellt sich bei der spielfreien Paarung zweier "normaler" Zahnräder (Zahnräder ohne Profilverschiebung) als Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) der Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\)=20° ein. Dieser Normaleingriffswinkel ergibt sich direkt durch den Flankenwinkel des zahnstangenförmigen Walzfräsers beim Herstellen der Zahnräder und ist somit im Vorfeld fest vorgegeben. In einem solchen Paarungsfall mit einem Eingriffswinkel von \(\alpha_0\)=20° werden die entstehenden Wälzkreisdurchmesser dann auch als Teilkreisdurchmesser bezeichnet, da sich auf diese Kreise die Umfangsteilung der Zähne bezieht.

  • Als Umfangsteilung \(p_0\) bezeichnet man den bogenförmigen Abstand zweier gleichgerichteter Zahnflanken auf den Teilkreisen.

Unterschied, Teilkreis-Durchmesser, Wälzkreis-Durchmesser, Vergleich, Achsabstand, Eingriffswinkel

Interaktive Abbildung: Unterschied zwischen Teilkreis und Wälzkreis

Alle Zahnräder die miteinander gepaart werden sollen müssen identische Umfangsteilungen auf ihren Teilkreisen aufweisen, da die Zähne ansonsten nicht ineinandergreifen könnten. Der Teilkreisdurchmesser ist wie auch die Umfangsteilung eine unveränderliche Größe eines Zahnrades, die sich lediglich aus dem Produkt von Modul und Zähnezahl bzw. von Modul und Kreiszahl \(pi\) ergibt (siehe Kapitel Zahnradgeometrie)! 

Eine Änderung im Eingriffswinkel (z.B. durch eine Achsabstandsänderung) ändert weder an den fest definierten Teilkreisen noch an den darauf bezogenen Umfangsteilungen etwas! Dieser Sachverhalt gilt jedoch nicht für die Wälzkreisdurchmesser. Weicht der Eingriffswinkel durch eine Achsabstandsänderung vom Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) ab, dann ergibt sich ein neuer Wälzpunkt \(C\) und somit neue Wälzkreisdurchmesser \(d\) die nun von den Teilkreisdurchmessern \(d_0\) abweichen [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung].

Die sich neu einstellenden Wälzkreise können anhand des Betriebseingriffswinkels \(\alpha_b\) ermittelt werden. Dabei ist zunächst festzuhalten, dass sich die Grundkreise \(r_b\) bei einer Änderung des Achsabstandes bzw. bei einer Änderung des Eingriffswinkels nicht ändern, schließlich sind sie eine feste Größe mithilfe deren Evolventenflanken im Vorfeld konstruiert wurden.

Es gilt somit sowohl für den Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) mit dem entsprechenden Teilkreisradius \(r_0\) als auch für einen beliebigen Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) mit dem sich neu einstellenden Wälzkreisdurchmesser \(r\) derselbe Grundkreisradius \(r_b\). Über den Kosinus des Eingriffswinkels stehen beide Radien bzw. Durchmesser in Zusammenhang (siehe gelbes bzw. blaues Dreieck in der oberen Abbildung). Auf dieser Weise kann aus dem Teilkreisdurchmesser \(d_0\) der sich im Betrieb bei einem Betriebseingriffswinkel \(\alpha_b\) einstellende Wälzkreisdurchmesser \(d\) wie folgt ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&r_b(\alpha_b)=r_b(\alpha_0)  \\[5px]
&r \cdot \cos(\alpha_b) = r_0 \cdot \cos(\alpha_0)  \\[5px]
&\tfrac{d}{2} \cdot \cos(\alpha_b) = \tfrac{d_0}{2} \cdot \cos(\alpha_0)  \\[5px]
&\boxed{d = d_0 \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)}} ~~~\text{mit } \alpha_0 = 20° ~\text{Normverzahnung} \\[5px]
\end{align}

Auch an dieser Stelle wird nochmals deutlich, dass der Wälzkreis nur dann dem Teilkreis entspricht, wenn der Betriebseingriffswinkel gleich dem Normaleingriffswinkel ist (\(\alpha_b=\alpha_0\)). In vielen Fällen ist dies in der Praxis jedoch nicht gegeben, sodass im Betrieb der Wälzkreis vom Teilkreis abweicht. Dies trifft insbesondere bei korrigierten Zahnrädern zu.

Anmerkung: Der Begriff Umfangsteilung \(p_0\) ist nicht mit dem Begriff der Eingriffsteilung \(p_e\) zu verwechseln:

  • Umfangsteilung \(p_0\): Bogenförmiger Abstand zweier benachbarter, gleichgerichteter Flanken auf dem Teilkreis (= Wälzkreis bei Normeingriffsverhältnisse) eines Zahnrades.
  • Eingriffsteilung \(p_e\): Senkrechter Abstand zweier benachbarter, gleichgerichteter Flanken eines Zahnrades. Dies ist gleichbedeutend mit dem Abstand zweier in Kontakt stehender Flanken auf der Eingriffsstrecke.

Unterschied, Teilkreis-Durchmesser, Wälzkreis-Durchmesser, Umfangsteilung, Eingriffsteilung

Abbildung: Umfangsteilung und Eingriffsteilung

Beide Teilungen sind jedoch nicht unabhängig voneinander sondern stehen über den Normaleingriffswinkel \(\alpha_0\) in Zusammenhang. Wie es zu diesem Zusammenhang kommt wird hier erklärt.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p_e = p_0 \cdot \cos(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

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