Zusammenhang zwischen Translation und Rotation

An dieser Stelle soll die im vorangegangenen Abschnitt hergeleitete Leistungsformel für Rotationsbewegungen in der folgenden Form nochmals in anderer Hinsicht interpretiert werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{rotationsleistung}
&P = \underbrace{\frac{2\pi}{T}}_{= \omega} \cdot M = \omega \cdot M \\[5px]
&\boxed{P = M \cdot \omega} \\[5px]
\end{align}

Darin gibt der Ausdruck \(\frac{2\pi}{T}\) letztlich den im Bogenmaß zurückgelegten Winkel pro Zeiteinheit an:

  • volle Umdrehung = Winkel 2π
  • dafür benötigter Zeit = Periodendauer T

Somit lässt sich der Ausdruck \(\frac{2\pi}{T}\) als Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) interpretieren. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist mit der Drehzahl \(n\) wie folgt verknüpft:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{winkelgeschwindigkeit}
&\boxed{\omega = \frac{2\pi}{T}} = 2\pi \underbrace{\frac{1}{T}}_{= n} = 2 \pi n \\[5px]
&\boxed{\omega = 2 \pi n} \\[5px]
\end{align}

Beim Vergleich der Leistungsformeln zwischen einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung zeigt sich nun eine direkte Analogie. Die analoge Größe zur Kraft bei translatorischen Bewegungen entspricht dem Drehmoment bei rotatorischen Bewegungen und die Größe der (Translations)-Geschwindigkeit entspricht der Winkelgeschwindigkeit. Das Produkt aus den jeweiligen Größen entspricht dann der Translationsleistung bzw. Rotationsleistung.

  Translationsbewegung Rotationsbewegung
"Bewegungsstärke"  Kraft \(F\) Drehmoment \(M = F \cdot r\)
"Bewegungsschnelligkeit"   Translationsgeschwindigkeit \(v\) Winkelgeschwindigkeit \(\omega = v \cdot r\)
"Leistung" \(P = F·v\) \(P = M \cdot \omega\)

Im Folgenden wird nochmals das Anheben einer Kiste mithilfe einer Seilwinde betrachtet. In diesem Fall liegt eine Rotationsbewegung der Seiltrommel und eine Translationsbewegung der Kiste vor. Beide Bewegungen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Wird bspw. die Rotationsgeschwindigkeit der Seiltrommel erhöht, so vergrößert sich auch die Translationsgeschwindigkeit der Kiste. Es existiert offensichtlich ein bestimmter Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Translationsgeschwindigkeit.

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Interaktive Abbildung: Anheben einer Kiste

Dieser Zusammenhang kann über die Leistung hergestellt werden. So schlägt sich die Rotationsleistung \(P_{Rot}\) der Seiltrommel vollständig in Translationsleistung \(P_{Tra}\) der Kiste nieder. Setzte man die entsprechenden Formel gleich, so gilt folgender Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) und der entsprechenden Translationsgeschwindigkeit \(v\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{zusammenhang}
&P_{Tra}= P_{Rot} \\[5px]
&F \cdot v = M \cdot \omega ~~~~~\text{mit }~~~ M = F \cdot r ~~~\text{folgt:}\\[5px]
&F \cdot v = F \cdot r \cdot \omega \\[5px]
& \boxed{v = \omega \cdot r} \\[5px]
\end{align}

Die Translationsgeschwindigkeit \(v\) kann dabei als Bahngeschwindigkeit aufgefasst werden, mit der sich ein rotierender Punkt im Abstand \(r\) zur Drehachse bewegt. Ein Punkt auf dem sich aufwickelnden Seil der Seiltrommel wird mit derselben (Bahn-)Geschwindigkeit rotieren wie die Kiste hochgezogen wird [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit bei Rotationsbewegungen stehen somit über den Radius in direktem Zusammenhang zur Kraft bzw. Geschwindigkeit bei Translationsbewegungen (siehe Tabelle oben).

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