Leistung bei rotatorischen Bewegungen

Die Erkenntnis über den Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeit bei translatorischen Bewegungen lässt sich auf rotatorische Bewegungen übertragen. Hierzu wird die im Abschnitt zuvor bereits beschriebene Seilwinde nochmals betrachtet. Diesmal wird allerdings die Rotationsbewegung der Seilwinde bzw. die dabei herrschenden Kräfteverhältnisse genauer untersucht.

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Animation: Anheben einer Kiste mithilfe einer Seilwinde

Die Seilwinde zieht während des Aufwickelns das Seil mit der Kraft \(F\) entlang der Bogenstrecke \(\Delta s\). Die zurückgelegte Strecke \(\Delta s\) beschreibt diesmal allerdings keine Gerade mehr sondern einen Kreisbogen. Dabei ist jedoch die Kraft wieder in jedem Punkt stets parallel zur Strecke gerichtet. Dies bedeutet, dass die Formel für die Arbeit \(W=F \cdot \Delta s\) wiederum ohne weiteres angewandt werden kann.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{arbeit_01}
&W = F \cdot \Delta s \\[5px]
\end{align}

Während einer ganzen Umdrehung hat die Seilwinde dabei das Seil einmal komplett am Umfang aufgewickelt, d.h. die Kraft \(F\) wirkte entlang der Kreisstrecke \(\Delta s = 2 \pi r\). Die verrichtete Arbeit \(W\) der Seilwinde während dieser Umdrehung ermittelt sich dann schließlich zu:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{arbeit_02}
&W = F \cdot 2 \pi r \\[5px]
\end{align}

Die für diese eine Umdrehung benötigte Zeit \(\Delta t\)wird auch Periodendauer \(T\) genannt (Periodendauer = "Zeitdauer pro Umdrehung"). Folglich wurde innerhalb der Zeit \(T\) die Arbeit \(W=F \cdot 2\pi r\) verrichtet, was zur folgenden umgesetzten Leistung \(P\) führt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{leistung}
&P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{F \cdot 2 \pi r}{T} = 2 \pi \underbrace{\frac{1}{T}}_{=n} \cdot \underbrace{ F \cdot r}_{=M} = 2 \pi \cdot n \cdot M \\[5px]
\end{align}

Das in der Formel auftretende Produkt aus angreifender Kraft \(F\) und hierzu senkrecht gerichtetem Hebelarm \(r\) entspricht letztlich dem wirkenden Drehmoment \(M\) an der Seiltrommel, mit dem die Drehbewegung ausgeführt wird. Deshalb können beide Größe zum Drehmoment \(M\) zusammengefasst werden.

Die Formel kann noch weiter interpretiert werden, wenn man sich die Bedeutung des auftretenden Ausdrucks \(\tfrac{1}{T}\) vor Augen führt. Während nämlich die Periodendauer \(T\) die „Zeit pro Umdrehung“ angibt, gibt der Kehrwert der Periodendauer \(\tfrac{1}{T}\) folglich die „Umdrehungen pro Zeit“ an. Dies entspricht gerade der Drehzahl \(n\) (bzw. Drehfrequenz \(f\)) der Rotationsbewegung! Es gilt also folgende allgemeine Beziehung zwischen der Drehzahl \(n\) (bzw. Frequenz \(f\)) und der Periodendauer \(T\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{drehzahl}
&n = \frac{1}{T} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Grundsätzlich ist der Begriff Drehzahl (Formelsymbol \(n\)) gleichbedeutend mit dem Begriff Drehfrequenz oder kurz Frequenz (Formelsymbol \(f\)). Während der Begriff Drehzahl allerdings häufig im Zusammenhang mit der technischen Einheit „Umdrehungen pro Minute“ wiederzufinden ist, spricht man von der Drehfrequenz \(f\) meist im Zusammenhang mit der physikalischen Einheit „Umdrehungen pro Sekunde“. Beachte, dass auch wenn in der Formel das Formelsymbol \(n\) für die Drehzahl verwendet wird, grundsätzlich immer mit der Einheit \(\tfrac{1}{s}\) zu rechnen ist!

Nach Gleichung (\ref{leistung}) ergibt sich die mechanische Leistung \(P\) eines Bauteils, das mit konstanter Drehzahl \(n\) durch das Drehmoment \(M\) angetrieben wird, somit aus dem Produkt beider Größen; multipliziert mit dem konstanten Faktor \(2\pi\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{rotationsleistung}
&\boxed{P = 2 \pi \cdot M \cdot n} \\[5px]
\end{align}

Diese für die Rotation der Seiltrommel benötigte Leistung wird im vorliegenden Fall direkt vom Motor geliefert. Da die Leistung von Motoren jedoch begrenzt ist, können diese auch grundsätzlich kein beliebig großes Drehmoment erzeugen. Größere Drehmomente sind jedoch beim Anheben größerer Lasten erforderlich. In einem solchen Fall muss dann ein Getriebe zwischengeschaltet werden, welches bei gegebener Motorleistung \(P\) das Drehmoment \(M\) erhöht. Nach Umstellen von Gleichung (\ref{rotationsleistung}) wird dann sofort offensichtlich, dass ein höheres Drehmoment zwangsläufig eine geringere Drehzahl \(n\) zur Folge hat. Die Kiste kann nicht mehr so schnell angehoben werden.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{getriebe}
&n = \frac{P}{2 \pi \cdot M} \\[5px]
\end{align}

Soll hingegen eine geringe Last mit einem entsprechend verringerten Drehmoment \(M\) gehoben werden, dann kann das Drehmoment durch das Getriebe zugunsten der Drehzahl \(n\) herabgeregelt werden. In diesem Fall kann die Kiste dann schneller angehoben werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder].

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Interaktive Abbildung: Steuerung des Drehmoment-Drehzahl-Verhältnisses durch ein Getriebe

Beachte auch an dieser Stelle wieder, dass die Leistung \(P\) vom Motor fest vorgegeben ist und nicht durch das Getriebe geändert werden kann! Ein Getriebe kann nur das Verhältnis von Drehmoment und Drehzahl steuern! Die vom Motor gelieferte Leistung wird also durch das Getriebe nur zugunsten eines größeren Drehmomentes und damit zu Lasten der Drehzahl gewandelt (oder umgekehrt).

  • Getriebe ändern nicht die mechanische Leistung sondern lediglich das Drehmoment-Drehzahl-Verhältnis, das hinter einer bestimmten Leistung steckt!
  • Dies bedeutet entweder ein großes Drehmoment bei geringerer Drehzahl oder eine größere Drehzahl bei geringerem Drehmoment.

Grundsätzlich kann durch eine größere Motorleistung natürlich gleichzeitig sowohl das Drehmoment als auch die Drehzahl erhöht werden kann. Aber schließlich wird der Motor nicht eine unbegrenzt hohe Leistung liefern können. Irgendwann ist das Leistungslimit erreicht und eine weitere Erhöhung des Drehmomentes kann schließlich nur noch durch ein Getriebe erzielt werden, was eben die besagte Erniedrigung der Drehzahl dann mit sich bringt. Außerdem macht aus wirtschaftlichen Gründen eine erhöhte Motorleistung nicht immer Sinn, da die Motoren in der Regel teurer sind als Motoren mit geringeren Leistungswerten.

Idealerweise wird die vom Motor gelieferte Leistung durch ein Getriebe also nicht geändert (zumindest auf keinen Fall erhöht!). In der Realität treten durch Reibungseffekte allerdings Leistungsverluste auf, die zur Minderung der Abtriebsleistung im Vergleich zur Antriebsleistung führen. Diese Verluste werden durch einen Getriebewirkungsgrad \(\eta_G\) berücksichtigt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{getriebewirkungsgrad}
&\boxed{P_{Ab} = P_{An} \cdot \eta_G} \\[5px]
\end{align}

Getriebe, Energiefluss-Diagramm, Getriebe-Wirkungsgrad, Abtrieb, Antrieb

Interaktive Abbildung: Energieflussdiagramm

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