Leistung bei translatorischen Bewegungen

Für die Leistung von translatorischen Bewegungen (linearen Bewegungen) ergibt sich ein bestimmter Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeit. Dies soll im Folgenden exemplarisch anhand einer Seilwinde gezeigt werden, die von einem Motor angetrieben wird.

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Animation: Anheben einer Kiste mithilfe einer Seilwinde

Die Seilwinde zieht die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit v und konstanter Kraft \(F\) nach oben. Dabei wird die Kiste innerhalb der Zeit \(\Delta t\) um die Strecke \(\Delta s\) angehoben. Die während dieser Zeit \(\Delta t\) verrichtete Arbeit \(W\) der Seilwinde ergibt sich definitionsgemäß aus dem Produkt von aufgebrachter Kraft \(F\) und zurückgelegter Strecke \(\Delta s\): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{arbeit}
&W = F \cdot \Delta s \\[5px]
\end{align}

Diese Arbeit wurde offensichtlich während dem Anheben und somit innerhalb der Anhebezeit \(\Delta t\) erbracht. Aus der allgemeinen Definition der Leistung lässt sich dann die umgesetzte mechanische Leistung der Seilwinde \(P\) wie folgt bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{leistung}
&P =  \frac{W}{\Delta t} = \frac{F \cdot \Delta s}{\Delta t} = F \cdot \underbrace{ \frac{ \Delta s}{\Delta t}}_{=v} = F \cdot v \\[5px]
\end{align}

Bei der Umformung wurde ausgenutzt, dass der Quotient aus zurückgelegter Strecke \(\Delta s\) und der dafür benötigten Zeit \(\Delta t\) letztlich der (als konstant vorausgesetzten) Geschwindigkeit \(v\) der hochgezogenen Kiste entspricht.

Die benötigte mechanische Leistung \(P\) um ein Bauteil mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) durch die Kraft \(F\) anzutreiben, ergibt sich also aus dem Produkt beider Größen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{translationsleistung}
&\boxed{P = F \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Im vorliegenden Fall wird diese geforderte mechanische Leistung vom Motor geliefert und direkt an die Seilwinde übertragen (siehe Abbildung oben).

Grundsätzlich können Motoren nicht beliebig hohe Leistungen erbringen. Vielmehr ist die Leistungsfähigkeit je nach Motorbauart begrenzt. Steht im Allgemeinen also nur eine bestimmte Motorleistung \(P\) zur Verfügung, so wird nach Umstellen der Gleichung (\ref{translationsleistung}) sofort ersichtlich, dass eine größere Kraft \(F\) offensichtlich nur mit einer entsprechend geringeren Geschwindigkeit \(v\) erzielen kann. Eine schwerere Kiste kann demzufolge nur dann mit größerer Kraft angehoben werden, wenn die Geschwindigkeit entsprechend herabgeregelt wird. Umgekehrt kann bei gegebener Motorleistung \(P\) eine leichtere Kiste (wenn also nur eine geringere Kraft \(F\) zum Hochziehen erforderlich ist) mit höherer Geschwindigekeit \(v\) nach oben gezogen werden.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{kraft}
&v = \frac{P}{F} \\[5px]
\end{align}

Genau an dieser Stelle kommen Getriebe ins Spiel. Sie übernehmen die Steuerung der Leistung zugunsten eine größeren Kraft oder zugunsten einer größeren Geschwindigkeit. Eine Erhöhung beider Größen gleichzeitig ist folglich nicht möglich, da hierzu einer Erhöhung der Leistung erforderlich wäre. Die Leistung ist jedoch durch den Motor fest vorgegeben und kann auch durch ein Getriebe nicht geändert werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder]. Beachte:

  • Getriebe ändern nicht die mechanische Leistung sondern lediglich das Geschwindigkeits-Kraft-Verhältnis, das hinter einer bestimmten Leistung steckt!
  • Dies bedeutet entweder eine große Kraft bei geringerer Geschwindigkeit oder eine größere Geschwindigkeit bei geringerer Kraft.

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Interaktive Abbildung: Steuerung des Kraft-Geschwindigkeits-Verhältnisses durch ein Getriebe

Im Idealfall wird die vom Motor gelieferte Antriebsleistung \(P_{An}\) durch das Getriebe wieder vollständig an den Abtrieb weitergegeben (Abtriebsleistung \(P_{Ab}\)). In der Realität treten aufgrund von Reibungseffekten jedoch Leistungsverluste \(P_{Ver}\) im Getriebe auf [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder]. Diese werden durch den Getriebewirkungsgrad \(\eta_G\) (≤ 1) ausgedrückt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{getriebewirkungsgrad}
&\boxed{P_{Ab} = P_{An} \cdot \eta_G} \\[5px]
\end{align}

Getriebe, Energiefluss-Diagramm, Getriebe-Wirkungsgrad, Abtrieb, Antrieb

Interaktive Abbildung: Energieflussdiagramm

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