Konstruktion

Die untere Animation zeigt nochmals die Funktionsweise eines Zykloidgetriebes, wie es im vorherigen Kapitel detailliert erläutert wurde. In diesem Kapitel steht die Konstruktion eines solchen Zykloidgetriebes im Vordergrund.

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Interaktive Animation: Zykloidgetriebe mit verkürzter Zykloide

Die exzentrisch gelagerte Zykloidenscheibe (Kurvenscheibe) besitzt im vorliegenden Fall \(z_1\) = 9 "Zähne", die sich um die \(z_2\) = 10 "Zähne" (Bolzen) der Gehäusescheibe wälzen. Markiert man in Gedanken einen Zahn auf der Zykloidenscheibe so hat sich dieser bei einem Umlauf der Zykloidenscheibe um das exzentrische Zentrum gerade um einen Zahn weiterbewegt. Im allgemeinen Fall bewegt sich die Zykloidenscheibe mit ihren \(z_1\) Zähnen bei einem Umlauf um die Differenz der Zähnezahlen \(z_2\) und \(z_1\) weiter, wobei in der Praxis diese Differenz \(\Delta z\) = 1 entspricht. Somit bestimmt sich das Übersetzungsverhältnis \(i\) eines Zykloidgetriebes wie folgt (eine alternative Herleitung des Übersetzungsverhältnisses anhand der Wälzkreisdurchmesser ist im Kapitel Funktionsweise gezeigt):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{i=\frac{z_1}{z_2-z_1}} ~(= 9)  \\[5px]
\end{align}

Dieses Übersetzungsverhältnis spiegelt sich schließlich auch im Verhältnis zwischen Grundkreisdurchmesser und Rollkreisdurchmesser wieder, welcher zur Konstruktion der Zykloidenscheibe verwendet wird. Denn aus der Betrachtung der Zykloidenscheibe heraus handelt es sich schließlich um ein Abwälzen der Bolzen auf der Zykloidenscheibe (auch wenn sich die Sicht als außenstehender Beobachter gerade umgekehrt zeigt: die Zykloidenscheibe wälzt auf den Bolzen ab - eben nur eine Frage der Sichtweise).

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2}
&i=\frac{d}{\delta} \\[5px]
\end{align}

Der Wälzkreis bzw. Teilkreis auf dem die Bolzen angeordnet werden ist im vorliegenden Fall mit \(D\) = 160 mm gewählt und die Bolzendurchmesser sollen \(d_B\) = 20 mm betragen. Die Rollen der Rollenscheibe haben einen gewählten Durchmesser von \(d_R\) = 10 mm, die auf einem Teilkreis mit dem Durchmesser \(d_S\) = 88 mm angeordnet werden. Diese Parameter sind im Vorfeld prinzipiell frei wählbar, sollten jedoch sinnvoll gewählt werden. Mithilfe der Größen \(D\), \(d_B\), \(i\) und \(z_2\), \(d_R\) und \(d_S\)  kann die oben gezeigte Zykloidenscheibe nun konstruiert werden (die in den folgenden Formeln in runden Klammer geschriebenen Zahlenwerte beziehen sich auf das abgebildete Zykloidgetriebe).

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Abbildung: Abmessungen eines Zykloidgetriebes

Der Rollkreisdurchmesser \(\delta\) zur Konstruktion Zykloidenscheibenform muss zunächst so gewählt werden, dass der Rollkreisumfang gerade der Umfangsteilung der Bolzen auf der Gehäusescheibe entspricht. Nur so ist gewährleistet, dass der mit dem Rollkreis konstruierte Zahnabstand der Zykloidenscheibe den Bolzenabständen entspricht und ein späteres Ineinandergreifen ermöglicht wird. Da Durchmesser und Zähnezahlen proportional zueinander sind muss der Rollkreisdurchmesser \(\delta\) folglich um die Bolzenanzahl \(z_2\) kleiner als der Teilkreisdurchmesser \(D\) der Gehäusescheibe sein:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3}
&\boxed{\delta=\frac{D}{z_2}}~(= 16 \text{ mm})  \\[5px]
\end{align}

Damit ist in Kombination mit Gleichung (\ref{2}) nun auch der Grundkreisdurchmesser \(d\) (in diesem Fall gleichbedeutend mit dem Wälzkreisdurchmesser) zur Konstruktion der Zykloidenscheibe eindeutig festgelegt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&i=\frac{d}{\delta}=\frac{d \cdot z_2}{D} \notag \\[5px]
\label{4}
&\boxed{d = \frac{i}{z_2} \cdot D} ~(= 144 \text{ mm})  \\[5px]
\end{align}

Wie im Kapitel Zykloidenkonstruktion ausführlich erläutert, wird eine Zykloide durch Abrollen des Rollkreises auf dem Grundkreis konstruiert. Die erhaltene Kurve bildet das sogenannte Bezugsprofil oder auch Nennprofil genannt (als grüne Linie dargestellt). Dabei muss nun jedoch beachtet werden, dass sich die entstehende Zykloidenkontur später um die Bolzen abwälzen muss. Aus diesem Grund muss bei der Konstruktion der Zykloide der Zeichnungspunkt (als Bleistiftspitze dargestellt) zu einem Kreis mit dem Bolzendurchmesser \(d_B\) erweitert werden (als roter Kreis dargestellt)! Die einhüllende Kontur die nun beim Abrollen des Rollkreises mit seinem Zeichnungskreis entsteht entspricht dann dem eigentlichen Scheibenprofil [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung oder betrachte die untere Animation]. 

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Interaktive Abbildung: Konstruktion der Zykloidenscheibe

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Animation: Konstruktion der Zykloidenscheibe

Das eigentliche Scheibenprofil kann man sich auch wie folgt konstruiert vorstellen. Zunächst wird das Bezugsprofil wie üblich mit einem Zeichnungspunkt hergestellt (siehe grüne Linie in der oberen Animation). Anschließend fräst man nun in Gedanken mit einem Fräser - dessen Durchmesser dem Bolzendurchmesser \(d_B\) entspricht - dieses Bezugsprofil entlang (der Fräsermittelpunkt wird auf das Bezugsprofil gesetzt). Auch auf diese Weise erhält man dann aus dem Bezugsprofil das eigentliche (äquidistante) Scheibenprofil. 

Der Rollkreisdurchmesser bestimmt letztlich die "Amplitude" mit der der Zeichnungskreis bei der Konstruktion der Zykloide um den Grundkreis "schwankt". Deshalb bestimmt sich aus dem Rollkreisdurchmesser auch die spätere Exzentrizität \(e\) der Scheibe, d.h. der Abstand zwischen Mittelpunkt der Zykloidenscheibe und dem Mittelpunkt des Bolzenrings. Die Exzentrizität \(e\) beträgt in diesem Fall die Hälfte des Rollkreisdurchmessers \(d_B\) (später hierzu Genaueres):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{e}
&\underline{e = \frac{\delta}{2}} ~~~~(= 8 \text{ mm}) ~~~~\text{gilt nur für eine "normale Zykloide"} \\[5px]
\end{align} 

Die Exzentrizität \(e\) hat wiederum Einfluss auf die Lochdurchmesser \(d_L\) der Zykloidenscheibe. Zum einen müssen durch die Löcher die Rollen mit ihrem Durchmesser \(d_R\) passen und zum anderen müssen diese das "Schwanken" der Zykloidenscheibe berücksichtigen, die sich bei einem Umlauf um die Exzentrizität "nach oben" und "nach unten" bewegt. Deshalb muss der Lochdurchmesser \(d_L\) um den zweifachen Betrag der Exzentrizität \(e\) größer sein als der Rollendurchmesser \(d_R\): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{exzenter}
&\boxed{d_L = d_R + 2 \cdot e} ~~~~(= 26 \text{ mm}) \\[5px]
\end{align}

Der Lochkreisdurchmesser auf dem die Löcher um das Zentrum der Zykloidenscheibe angeordnet werden entspricht dabei exakt dem Teilkreisdurchmesser auf dem die Rollen um das Zentrum der Rollenscheibe angeordnet sind (\(d_S\) = 88 mm)! 

Das fertig konstruierte Zykloidgetriebe besitzt im vorliegenden Fall eine relativ große Exzentrizität, was bei großen Drehzahlen zu enormen Unwuchtkräften führt und einen entsprechend unruhigen Lauf zur Folgen hat. Mit der relativ großen Exzentrizität hängt es auch zusammen, dass die Löcher der Zykloidenscheibe relativ nahe beieinander liegen, da nach Gleichung (\ref{exzenter}) eine große Exzentrizität einen großen Lochdurchmesser zur Folge hat. Die geringe Materialstärke zwischen den Löchern könnte bei großen Kräften somit zu einer Verformung der Löcher führen. 

Aus diesen Gründen wird die Zykloidenscheibe häufig mit einer sogenannten verkürzten Zykloide konstruiert. Die untere Animation zeigt die positiven Auswirkungen einer solchen verkürzten Zykloide auf das Getriebeverhalten. Sowohl die Exzentrizität als auch der Lochdurchmesser fallen deutlich geringer aus [fahre für einen direkten Vergleich mit der Maus über die Animation]. Das Übersetzungsverhältnis ändert sich durch die Konstruktion mit verkürzter Zykloide nicht; dieses ist nur von den Zähnezahlen nach Gleichung (\ref{1}) abhängig. Die Konstruktion einer solchen Zykloidenscheibe wird im nächsten Abschnitt behandelt. Beachte, dass wie aus der Animation mit verkürzter Zykloide ersichtlich wird, der Grundkreis der Zykloidenscheibe nicht mehr dem Wälzkreis entspricht!

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Interaktive Animation: Zykloidgetriebe mit verkürzter Zykloide

Zur Konstruktion einer verkürzten Zykloide wird letztlich der Zeichnungspunkt nicht mehr am Umfang des Rollkreises platziert sondern befindet sich innerhalb des Rollkreises. Im Gegensatz hierzu spricht man von einer verlängerten Zykloide, wenn sich der Zeichnungspunkt außerhalb des Rollkreises befindet. Letztere hat jedoch im Maschinenbau keine Bedeutung, weshalb lediglich die verkürzte Zykloide zur Anwendung kommt. Fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung um den direkten Vergleich zwischen einer normalen und einer verkürzten Zykloide zu sehen. 

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Interaktive Abbildung: Konstruktion einer Zykloidenscheibe mit normaler und verkürzter Zykloide

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Animation: Konstruktion einer verkürzten Zykloide

Der Abstand des Zeichnungspunktes zum Rollkreismittelpunkt entspricht direkt der späteren Exzentrizität \(e\) der Zykloidenscheibe. Insofern wird die Exzentrizität also bereits im Vorfeld festgelegt und entscheidet damit über die Form der Zykloidenscheibe und die Größe der Löcher. Dabei ist die Exzentrizität stets kleiner oder gleich dem Rollkreisdurchmesser, ansonsten erhielte man eine verlängerte Zykloide.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{e \le \frac{\delta}{2}}  \\[5px]
\end{align}

Im vorliegenden Beispiel ist die Exzentrizität bei der verkürzten Variante mit \(e\) = 4 mm gewählt worden. Zu gering sollte die Exzentrizität jedoch nicht gewählt werden, da die Kontur der Zykloidenscheibe sonst immer "weicher" wird und im Extremfall bei einer Exzentrizität von \(e=0\) in eine reine Kreisform übergeht. In diesem Fall ist natürlich kein Formschluss mehr möglich und auch bei zu geringen Exzentrizitäten besteht die Gefahr des "Drüberrutschens" der Zykloidenscheibe über die Bolzen. 

 

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Abbildung: Exzentrizität einer verkürzten Zykloidenform 

Selbst wenn die Exzentrizität so gering wie möglich gewählt wird besteht bei großen Drehzahlen dennoch die Gefahr von zu großen Unwuchten. Aus diesem Grund werden in Zykloidgetrieben meist zwei Zykloidenscheiben verwendet, die um 180° versetzt angeordnet sind und die jeweiligen Fliehkräfte sich damit ausgleichen. 

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Animation: Zykloidgetriebe mit zwei Zykloidenscheiben

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