Riemenlänge

Für die Konstruktion von Riementrieben ist es notwendig sowohl den Umschlingungswinkel als auch die Riemenlänge bei gegebenen Scheibendurchmessern und Scheibenabständen zu bestimmen. Grundlage hierfür bildet der aufgezogene Zustand des Riemens auf die Riemenscheiben. Der Riemen setzt sich dann aus den beiden kreisbogenförmigen Abschnitten \(b_k\) und \(b_g\) an der kleinen und großen Riemenscheibe zusammen und aus den beiden geradlinigen Trumabschnitten \(l\). Die Summe dieser Riemenabschnitte bilden die geometrische Riemenlänge \(L_i\) im aufgezogenen Zustand, wobei sich diese Längenangabe dann auf die Innenseite des Riemens bezieht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{riemenabschnitte}
&L_i = 2 \cdot l + b_g + b_k \\[5px]
\end{align}

Riemenlänge, Berechnen, Formel, Herleitung, Trumlänge, Bogenlänge, Riemen-Scheibe, Trumneigungswinkel, Trumwinkel

Interaktive Abbildung: Riemenabschnitte

Zunächst soll der Umschlingungswinkel anhand der Scheibendurchmesser und des Scheibenabstandes bestimmt werden. Für die Herleitung wird der sogenannte Trumneigungswinkel bzw. Trumwinkel \(\alpha\) genutzt, der sich als Winkel zwischen der Verbindungslinie der Scheibenachsen und dem Trum ergibt. Wie aus der Abbildung oben hervorgeht, stehen der Trumwinkel und der Umschlingungswinkel \(\varphi\) der kleinen Scheibe in folgendem Zusammenhang (sofern nicht ausdrücklich anders erwähnt, beziehen sich die gesamten Winkelangaben und -funktionen auf das Bogenmaß!):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{a_p}
&\boxed{\varphi = \pi - 2 \cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Verschiebt man nun in Gedankten den geraden Trumabschnitt \(l\) entlang der Winkelhilfslinien bis in das Zentrum der kleinen Riemenscheibe [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Man erhält hierdurch ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Wellenabstand \(e\) (Scheibenabstand) als Hypotenuse und der Trumlänge \(l\) als Ankathete sowie der sich über die Scheibendurchmesser ergebenden Gegenkathete. Der Trumneigungswinkel \(\alpha\) lässt sich dann offensichtlich anhand der Sinusfunktion über die Scheibendurchmesser und den Wellenabstand bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\sin(\alpha) =\frac{d_g-d_k}{2e} \\[5px]
\label{trumneigung}
&\boxed{\alpha =\arcsin\left(\frac{d_g-d_k}{2e}\right)} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Berechnung der Trumlänge

In Kombination mit Gleichung (\ref{a_p}) kann der Umschlingungswinkel \(\varphi\) schließlich wie folgt über die Scheibendurchmesser \(d_g\) bzw. \(d_k\) und den Wellenabstand \(e\) ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{phi}
&\boxed{\varphi = \pi - 2 \cdot \arcsin\left( \frac{d_g-d_k}{2e}\right)} ~~~\text{Bogenmaß!} \\[5px]
\end{align}

Für die Herleitung der Riemenlänge kann zunächst ebenfalls das sich ergebende Dreieck in der oberen Abbildung genutzt werden. So lässt sich über die Kosinusfunktion des Trumwinkels \(\alpha\) die Trumlänge \(l\) in Abhängigkeit des Wellenabstands \(e\) bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{trumlaenge}
&\underline{l = e \cdot \cos(\alpha) } \\[5px]
\end{align}

Zur Ermittlung des Riemenabschnitts um die große Riemenscheibe \(b_g\) wird zunächst die Länge des entsprechenden Halbkreises bestimmt (\(\frac{\pi}{2}d_g\)). Dabei nüssen jedoch zusätzlich noch die beiden Bogenabschnitte (\(\tfrac{d_g}{2} \alpha\)) hinzu addiert werden, welche sich durch die Trumneigung mit dem Winkel \(\alpha\) ergeben (Beachte: Bogenwinkel = Bogenlänge/Bogenradius bzw. Bogenlänge = Bogenradius x Bogenwinkel):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{b_g}
&\underline{b_g =\tfrac{\pi}{2}d_g+2 \cdot \tfrac{d_g}{2}\cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Berechnung der Bogenlängen

Auf die analoge Weise wird die Bogenlänge des Riemens um die kleine Riemenscheibe \(b_k\) bestimmt. Ausgehend der Halbkreislänge \(\frac{\pi}{2}d_k\) müssen aufgrund der Trumneigung dabei jedoch die beiden Bogenlängen \(\frac{d_k}{2}\alpha\) nun subtrahiert werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{b_k}
&\underline{b_k =\tfrac{\pi}{2}d_k-2 \cdot \tfrac{d_k}{2}\cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Mit den Gleichungen (\ref{riemenabschnitte}), (\ref{trumlaenge}), (\ref{b_g}) und (\ref{b_k}) kann nun die Länge der Riemeninnenseite \(L_i\) anhand des Trumwinkels \(\alpha\) wie folgt ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&L_i = 2 \cdot \underbrace{e \cdot \cos(\alpha)}_{l} + \underbrace{\tfrac{\pi}{2}d_g+2 \cdot \tfrac{d_g}{2}\cdot \alpha}_{b_g} + \underbrace{\tfrac{\pi}{2}d_k-2 \cdot \tfrac{d_k}{2}\cdot \alpha}_{b_k} \\[5px]
\label{riemenlaenge}
&\underline{L_i = 2 \cdot e \cdot \cos(\alpha) + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \left(d_g-d_k \right) \cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Da der Trumneigungswinkel in der Regel relativ klein ist, können folgende Kleinwinkelnäherungen für das Bogenmaß genutzt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{kleinwinkel}
&\underline{\cos(\alpha) \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}}~~~\text{und} ~~~\sin(\alpha) = \underline{\frac{d_g-d_k}{2e} \approx \alpha} \\[5px]
\end{align}

Damit lässt sich die Riemenlänge in der Praxis mit hinreichender Genauigkeit wie folgt ermitteln:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&L_i  \approx 2 e \cdot \underbrace{\left(1 - \frac{\alpha^2}{2}\right)}_{\approx \cos(\alpha)} + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \left(d_g-d_k \right) \cdot \underbrace{\frac{d_g-d_k}{2e}}_{\alpha} ~~~~~\text{mit} ~~~\alpha \approx \frac{d_g-d_k}{2e} ~~~\text{folgt:}\\[5px]
&L_i  \approx 2 e \cdot \left(1 - \frac{(d_g-d_k)^2}{8e^2}\right) + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \left(d_g-d_k \right) \cdot \frac{d_g-d_k}{2e} \\[5px]
&L_i  \approx 2 e - \frac{(d_g-d_k)^2}{4e} + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \frac{(d_g-d_k)^2}{2e} \\[5px]
&\boxed{L_i  \approx 2 e  + \tfrac{\pi}{2} \left(d_g + d_k \right)  + \tfrac{1}{4e} (d_g-d_k)^2} \\[5px]
\end{align}

Diese Formel bietet nicht nur den Vorteil, dass sie relativ übersichtlich ist und ohne Trumwinkel auskommt sondern durch Umstellen kann nun auch bei gegebener Riemenlänge \(L_i\) der Wellenabstand \(e\) ermitellt werden. Nach mathematischen Umformungen und Anwendung der "p-q-Formel" folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \boxed{e \approx \tfrac{1}{4} L_i - \tfrac{\pi}{8} \cdot (d_g+d_k) + \sqrt{ \left[ \tfrac{1}{4} L_i - \tfrac{\pi}{8} \cdot (d_g+d_k) \right]^2 - \tfrac{1}{8}(d_g-d_k)^2 }}
\end{align}

Für Flachriemen sollte der Wellenabstand nach Norm zwischen folgenden Grenzwerten eingestellt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \boxed{0,7 \cdot (d_g+d_k) \le e \le 2 \cdot (d_g+d_k)}
\end{align}

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