Dehnschlupf

Im Abschnitt zuvor wurde die Ermittlung des Gleitwinkels \(\varphi'\) anhand der zu übertragenden Umfangskraft \(F_U\) und der Leertrumskraft \(F_L\) wie folgt hergeleitet (mit \(\mu_G\) als Gleitreibungszahl):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4367}
&\boxed{\varphi' = \frac{1}{\mu_G}\cdot \ln\left(1+\frac{F_U}{F_L}\right)} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung (\ref{4367}) zeigt auch, dass wenn keine Umfangskraft übertragen wird (\(F_U=0\)) auch kein Gleitbereich vorliegt (\(\ln(1)=0!\)) sondern nur eine Haftzone. Mit dem Übertragen einer Umfangskraft hingegen entsteht eine Gleitzone die mit steigender Umfangskraft zunimmt. Demzufolge nimmt auch der Dehnschlupf zu. Der genaue Zusammenhang zwischen Dehnschlupf \(S\) und zu übertragender Umfangskraft \(F_U\) soll im Folgenden hergeleitet werden.

Wie im Abschnitt Riemengeschwindigkeiten bereits erläutert, hängen die Riemendehnungen \(\epsilon\) und die Riemengeschwindigkeiten \(v\) direkt miteinander zusammen. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& v \text{ ~ } (1+\epsilon) \\[5px]
\end{align}

Mit der Definbition des Dehnschlupfs \(S\) als Verhältnis von Geschwindigkeitsverlust \(\Delta v\) zur Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe \(v_t\) folgt dann wiederum (\(v_g\): Umfangsgeschwindigkeit der getriebenen Scheibe):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&S = \frac{\Delta v}{v_t}  = \frac{v_t-v_g}{v_t}  = \frac{v_Z-v_L}{v_Z} = \frac{(1+\epsilon_Z) - (1+\epsilon_L)}{1+\epsilon_Z} = \frac{\epsilon_Z-\epsilon_L}{1+\epsilon_Z}  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Umfangsgeschwindigkeit der getriebenen Scheibe \(v_g\) der Riemengeschwindigkeit \(v_L\) im Leertrum entspricht und die Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe \(v_t\) der Riemengeschwindigkeit im Zugtrum \(v_Z\).

Die Dehnungen \(\epsilon\) können mithilfe des Zug-Elastizitätsmoduls \(E_Z\) des Riemens (nicht zu verwechseln mit dem Biege-Elastizitätsmodul \(E_b\)!) und den wirkenden Trumspannungen \(\sigma = \frac{F}{A}\) wie folgt ermitteln werden (mit \(A\) als Querschnittsfläche des Riemens):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\frac{F}{A} &= \boxed{\sigma = E_Z \cdot \epsilon} ~~~\text{Hooke'sches Gesetz}  \\[5px]
\epsilon &= \frac{F}{E_Z\cdot A}  \\[5px]
\end{align}

Schließlich ergibt sich der Dehnschlupf anhand der Trumkräfte dann wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&S = \frac{\epsilon_Z-\epsilon_L}{1+\epsilon_Z}  = \frac{\frac{F_Z}{E_Z\cdot A}-\frac{F_L}{E_Z\cdot A}}{1+\frac{F_Z}{E_Z\cdot A}} = \frac{F_Z-F_L}{E_Z\cdot A+F_Z} \\[5px]
\end{align}

Die Differenz der Trumkräfte entspricht gerade der zu übertragenden Umfangskraft (\(F_Z-F_L=F_U\)). Zudem zeigt sich, dass der Wert des Ausdrucks \(A\cdot E_Z\) in der Regel wesentlich größer ist als die Zugtrumskraft \(F_Z\). So liegt der E-Modul von Flachriemen in der Größenordnung von rund \(E_Z\) = 1000 N/mm² und die zulässige Riemenspannung in der Größenordnung von \(\sigma_{zul}\)=10 N/mm². Die Zugtrumskraft in der Größenordnung \(\text{~}\sigma_{zul}\cdot A\) wird deshalb deutlich geringer ausfallen als das Produkt aus \(E_Z \cdot A\). Die Zugtrumskraft \(F_Z\) kann deshalb gegenüber dem Produkt \(E_Z \cdot A\) vernachlässigt werden, sodass für den Dehnschlupf in sehr guter Näherung gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{dehnschlupf}
&S = \frac{F_U}{A \cdot E_Z + F_Z} \approx \frac{F_U}{A \cdot E_Z} \\[5px]
&\boxed{S \approx \frac{F_U}{A \cdot E_Z}} \\[5px]
\end{align}

Der Dehnschlupf ist also umso größer, je höhere Umfangskräfte übertragen werden (bedingt durch die stärkere Dehnung) und umso elastischer der Riemen ist (geringerer E-Modul, was ebenfalls die Dehnung begünstigt). Mit dem vergrößerten Dehnschlupf umfasst der Gleitbereich auch einen größeren Anteil am Umschlingungswinkel [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung um die Änderung beim Übertragen einer größeren Umfangskraft zu zeigen].

Dehn-Schlupf, Riementrieb, Trum-Geschwindigkeit, Diagramm, Verteilung

Interaktive Abbildung: Vergrößerung des Dehnschlupfes bei Zunahme der Umfangskraft

Beachte, dass die Riemengeschwindigkeit im Zugtrum durch die Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe vorgegeben ist und sich somit auch bei einer Vergrößerung der Umfangskraft nicht ändert (sofern die Drehzahl der treibenden Scheibe konstant gehalten wird). Lediglich die Riemengeschwindigkeit im Leertrum verringert sich durch den vergrößerten Dehnschlupf dementsprechend und der Gleitbereich nimmt auf Kosten des Haftbereichs zu.

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