Vorspannung

Die im vorherigen Abschnitt gezeigten Gleichungen geben in Abhängigkeit der Leertrumskraft \(F_L\) bzw. Zugtrumskraft \(F_Z\) die maximal möglichen, übertragbaren Umfrangskräfte \(F_{U,max}\) wieder:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{leertrum}
& F_{R,max} = \boxed{F_{U,max} = F_L \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right)} \ge F_U \\[5px]
\end{align}

bzw.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{zugtrum}
&F_{R,max} = \boxed{F_{U,max} =F_Z \cdot \left(1-\frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \right)} \ge F_U \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichungen sind somit an der Grenze zum Gleitschlupf zu interpretieren. Riementriebe werden grundsätzlich jedoch nicht am Limit zum Gleitschlupf gefahren sondern deutlich darunter. Die nach Gleichung (\ref{leertrum}) bzw. Gleichung (\ref{zugtrum}) maximal mögliche Umfangskraft wird somit nicht voll ausgeschöpft um Kräfte vom Riemen auf die Scheibe und umgekehrt zu übertragen. Die Gleichungen machen aber unmittelbar deutlich, dass eine Steigerung der Leertrums- bzw. Zugtrumskraft zu einer Zunahme der maximalen Reibungskraft führt. Anschaulich lässt sich dies mit einer Zunahme der Anpresskraft des Riemens auf die Scheibe erklären, wodurch die maximale Reibungskraft zunimmt. Durch eine Erhöhung der Trumkräfte kann also die Sicherheit gegen Gleitschlupf gesteigert werden bzw. es können insgesamt größere Umfangskräfte übertragen werden.

Die Trumkräfte werden dabei durch die Vorspannung des Riemens beeinflusst (auch Riemenvorspannung genannt). Je stärker der Riemen bereits im lastfreien Zustand durch die sogenannte Vorspannkraft unter Spannung steht, desto höher werden auch die Trumkräfte im späteren Betrieb unter Last ausfallen und umso höhere Reibungskräfte können wirken bzw. größere Umfangskräfte übertragen werden. Dabei muss jedoch bedacht werden, dass die sich im Betrieb ergebenen Trumkräfte von der zu übertragenden Umfangskraft abhängen.

So wirkt im lastfreien Ruhezustand nur die Vorspannkraft \(F_V\) im Riemen. Wird durch das Drehmoment der Antriebsscheibe nun eine Umfangskraft \(F_U\) eingeleitet, so erhöht sich die Riemenkraft im Zugtrum auf \(F_Z\) und die Leertrumskraft nimmt im selben Maße auf \(F_L\) ab, wobei gemäß der Kräftegleichgewichtsbedingung (genauer: Drehmomentengleichgewichtsbedingung) die Differenz von Zugtrumskraft und Leertrumskraft der zu übertragenden Umfangskraft entspricht. Damit folgt, dass die Zugtrumskraft gerade um die Hälfte der Umfangskraft ansteigt und die Leertrumskraft um die Hälfte der Umfangskraft absinkt [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder - mit "F5" zurücksetzen]:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{F_Z = F_V + \tfrac{F_U}{2}} \\[5px]
\label{F_L}
&\boxed{F_L = F_V - \tfrac{F_U}{2}} \\[5px]
&F_Z - F_L = \left(F_V+\tfrac{F_U}{2} \right) - \left(F_V - \tfrac{F_U}{2} \right) = F_V + \tfrac{F_U}{2} - F_V + \tfrac{F_U}{2} = F_U \\[5px]
\end{align}

riemengetriebe, Vorspannkraft, Zugtrum-Kraft, Leertrum-Kraft, Umfangskraft, Nutzkraft, Zusammenhang

Interaktive Abbildung: Zusammenhang zwischen Vorspannkraft, Umfangskraft und Trumkraft (ohne Fliehkräfte)

Die Leertrumskraft darf gemäß Gleichung (\ref{leertrum}) unter Last dabei auf keinen Fall auf Null absinken, da ansonsten die Riemenspannung verloren ginge. Damit wäre keine Anpresskraft zwischen Riemen und Riemenscheibe vorhanden und es käme keine Reibungskraft zustande, die in der Lage wäre Umfangskräfte zu übertragen.

Die Vorspannkraft \(F_V\) in Gleichung (\ref{F_L}) ist deshalb so zu wählen, dass die Leertrumskraft \(F_L\) im Lastbetrieb, d.h. bei übertragen der Umfangskraft \(F_U\), nicht unterhalb ein kritisches Maß absinkt (diese Vorspannkraft wird auch als Riemenvorspannung oder kurz als Vorspannung bezeichnet). Dieser kritische Fall ist dann erreicht, wenn die Leertrumskraft soweit abgesunken ist, dass gerade noch mit der maximal möglichen Umfangskraft nach Gleichung (\ref{leertrum}) die Umfangskraft \(F_U\) auch tatsächlich übertragen werden kann (\(F_{U,max}=F_U\)). Die Leertrumskraft darf somit folgenden Wert nicht unterschreiten:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{U} = F_{U,max} = F_{L,min} \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right)   \\[5px]
& F_{L,min} = F_{U} \cdot \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi} -1}   \\[5px]
\end{align}

Mit dieser Leertrumskraft \(F_{L,min}\), die mindestens vorhanden sein muss um die gegebene Umfangskraft \(F_U\) gerade noch so übertragen zu können, kann nach Gleichung (\ref{F_L}) dann auch die Mindestvorspannkraft \(F_{V,min}\) ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{F_V}
& F_{L,min} = F_{V,min} - \tfrac{F_U}{2} \\[5px]
& F_{V,min} = F_{L,min} + \tfrac{F_U}{2} \\[5px]
& F_{V,min} = F_{U} \cdot \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi} -1} + \tfrac{F_U}{2} \\[5px]
& F_{V,min} = F_{U} \cdot \left( \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi} -1} + \frac{1}{2} \right) \\[5px]
& \underline{F_{V,min} = F_{U} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) }} ~~~~~~\text{ohne Berücksichtigung von Fliehkräften} \\[5px]
\end{align}

In der bisherigen Betrachtung wurden Fliehkräfte noch nicht berücksichtigt, die bei hohen Riemengeschwindigkeiten \(v\) jedoch zur Verringerung der Anpresskraft und damit zur Abnahme der Reibungskraft führen, sodass dann nicht mehr die geforderte Umfangskraft übertragen werden kann. Um diesen Effekt auszugleichen, muss der Riemen um den Betrag der im Betrieb auftertenden Riemenfliehkraft \(F_F = m' v^2\) zusätzlich gespannt werden (mit \(m'\) als Längengewicht - "Masse pro Riemenlänge"):

\begin{align}\;\;\;\;\;
& F_{V,ges,min} = F_{V,min} + F_F \\[5px]
& \boxed{F_{V,ges,min} = F_{U} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right)} + m' \cdot v^2} ~~~~~~\text{mit Berücksichtigung von Fliehkräften} \\[5px]
\end{align}

Da die Fliehkraftwirkung im späteren Betrieb durch die zusätzliche Riemenvorspannung \(F_F\) ausgeglichen wird, bleibt als anpressrelevante Wirkung dann nur die Vorspannkraft \(F_V\), die deshalb auch als dynamische Vorspannung bezeichnet wird. Im Gegensatz hierzu berücksichtigt die (statische) Gesamtvorspannung \(F_{V,ges}\) auch die auszugleichende Fliehkraft, die nur im Ruhezustand als zusätzliche Anpresskraft wirkt. Im nächsten Abschnitt wird auf den Begriff der Riemenfliehkraft näher eingegangen und die Herleitung der entsprechenden Formel gezeigt.

Festzuhalten bleibt, dass die Gesamtvorspannung also umso größer gewählt werden muss, je höher die zu übertragende Umfangskraft und je größer die Riemengeschwindigkeit ist. Zu große Vorspannkräfte sollte jedoch vermieden werden, da dies dies nicht nur zu hohen Lagerbelastungen führt sondern auch den Riemenverschleiß erhöht. Zudem können bei großen Vorspannkräfte nur noch geringere Umfangskräfte übertragen werden, da ansonsten die Gefahr besteht, dass der Riemen unter der hohen Spannung reißt. 

In der Praxis kann die Vorspannkraft des Riemens durch Schwingungsversuche gemessen und entsprechend eingestellt werden. Hierzu wird das Trum wie die Saite einer Gitarre angezupft. Die Frequenz mit der das Trum nun frei schwingt wird Eigenfrequenz \(f\) genannt. Auf die analoge Weise wie auch bei einer Gitarre die Schwingungsfrequenz (Tonhöhe) durch die Spannkraft der Saite bestimmt ist, steht auch die Eigenfrequenz des schwingenden Trums in direktem Zusammenhang mit der Vorspannkraft.

Umso stärker das Trum gespannt ist, d.h. umso größer die Vorspannkraft ist, desto höher ist dessen Eigenfrequenz. Die Frequenz des schwingenden Trums wird schließlich mithilfe eines optischen Messgerätes erfasst. Neben der Vorspannkraft \(F_{V,ges}\) hat zwar auch die Trumlänge \(l\) und das Längengewicht \(m'\) ("Masse pro Meter") Einfluss auf die Eigenfrequenz, jedoch sind diese Größen im Vorfeld in aller Regel bekannt. Mit folgender Formel kann die Vorspannkraft dann aus der gemessenen Eigenfrequenz bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{V,ges} = 4 \cdot f^2 \cdot m' \cdot l^2 \\[5px]
\end{align}

Bzw. bei gewünschter Vorspannkraft gilt für die einzustellende Eigenfrequenz:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \boxed{f = \sqrt{\frac{F_{V,ges}}{4 \cdot m' \cdot l^2}} } \\[5px]
\end{align}

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