Kraftübertragung am Riementrieb

Bei Riementrieben werden Kräfte von der Antriebsscheibe auf den Riemen und anschließend wieder vom Riemen auf die Abtriebsscheibe übertragen. Die von einer Scheibe auf die andere Scheibe zu übertragende Kraft wird auch als Nutzkraft oder als Umfangskraft \(F_U\) bezeichnet. Wie groß diese eingeleitete Kraft \(F_U\) am Umfang der Antriebsscheibe ist, hängt dabei vom Drehmoment \(M_t\) bzw. von der Leistung \(P_t\) und der Drehzahl \(n_t\) sowie vom Durchmesser \(d_t\) der treibenden Scheibe ab:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&M_t = F_U \cdot \frac{d_t}{2} ~~~~~\text{und} ~~~~~ P_t = 2 \pi M_t n_t\\[5px]
\label{umfang}
&\boxed{F_U = \frac{2 M_t}{d_t} = \frac{P_t}{\pi d_t n_t}} \\[5px]
\end{align}

Riementrieb, Kraftuebertragung, Umfangskraft, Nutzkraft, Zugtrum, Leertrum, Drehmoment, Kraft

Interaktive Abbildung: Kraftübertragung am Riementrieb

Diese Umfangskraft \(F_U\) führt dazu, dass sich an den Trummen unterschiedliche Kräfte einstellen und sich ein Zugtrum bzw. Leertrum ausbildet. Aus der Kräftebilanz an einer Riemenscheibe zeigt sich ganz allgemein dass die Differenz von Zugtrumskraft \(F_Z\) und Leertrumskraft \(F_L\) der übertragenden Umfangskraft \(F_U\) entspricht [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{fu}
&\boxed{F_U = F_Z - F_L} \\[5px]
\end{align}

An der vom Riemen getriebenen Abtriebsscheibe mit dem Durchmesser \(d_g\) führt diese effektiv vorhandene Umfangskraft \(F_U\) zu einem entsprechend geänderten Drehmoment \(M_g\) (siehe hierzu auch das Kapitel Drehmomentwandlung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{M_g = F_U \cdot \frac{d_g}{2}} \\[5px]
\end{align}

Die Übertragung der Umfangskraft erfolgt an der Schnittstelle zwischen Riemen und Scheibe durch Reibungskräfte. Diese Reibungskräfte (genauer: die maximal möglichen Reibungskräfte) müssen dabei ausreichend groß sein, damit die Umfangskraft auch wirklich sicher übertragen werden kann. Ist die maximal mögliche Reibungskraft nämlich geringer als die zu übertragende Umfangskraft, dann ist offensichtlich nicht genügend "Haftung" vorhanden um die nach Gleichung (\ref{umfang}) ergebende Umfangskraft von der Scheibe auf den Riemen bzw. vom Riemen auf die Scheibe übertragen zu können. Es kommt zum Durchrutschen der Scheibe bzw. des Riemens (Gleitschlupf) und es wird nicht mehr die volle Umfangskraft übertragen.

Im vorherigen Kapitel wurde mithilfe der Seilreibungsgleichung gezeigt, dass sich die maximal wirkende Reibungskraft \(F_{R,max}\) zwischen Riemen und Scheibe bei gegebener Zugtrumskraft \(F_Z\) bzw. Leertrumskraft \(F_L\) mit den nachfolgend aufgeführten Formeln ermitteln lässt. Diese maximal wirkenden Reibungskräfte stellen somit gleichzeitig die Obergrenze für die maximal übertragbaren Umfangskräfte \(F_{U,max}\) dar:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{leertrum}
& F_{R,max} = \boxed{F_{U,max} = F_L \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right)} \ge F_U \\[5px]
\end{align}

bzw.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{zugtrum}
&F_{R,max} = \boxed{F_{U,max} =F_Z \cdot \left(1-\frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \right)} \ge F_U \\[5px]
\end{align}

In diesem Zusammenhang beschreibt die sogenannte Ausbeute \(k\) wie viel Prozent der vorhandenen Zugtrumskraft \(F_Z\) maximal für die Übertragung der Umfangskraft \(F_{U,max}\) genutzt werden könnte (Grenzfall zum Gleitschlupf). Dies entspricht gemäß Gleichung (\ref{zugtrum}) gerade dem Ausdruck \(\left(1-\frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \right)\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&k = \frac{F_{U,max}}{F_Z} = 1-\frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \\[5px]
\label{ausbeute}
&\boxed{k =1-\frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} } \\[5px]
\end{align}

Eine Ausbeute von bspw. \(k\) = 0,6 bedeutet somit anschaulich, dass maximal 60 % der wirkenden Zugtrumskraft für die eigentliche Kraftübertragung (Umfangskraft) zur Verfügung steht. Die restlichen 40 % sind in diesem Fall für das Aufbringen der Riemenspannung im Leertrum nötig (Leertrumskraft). Schließlich wird die Umfangskraft durch Reibungskräfte übertragen und deren Zustandekommen erfordert immer eine gewisse Anpressung des Riemens an die Scheibe. Somit muss immer auch eine Kraft im Leertrum vorhanden sein, um die Riemenspannung und mit ihr die Anpressung zu gewährleisten. Allgemein gilt also folgender Zusammenhang zwischen einer gegebenen Zugtrumskraft \(F_Z\) und der maximal möglichen Umfangskraft \(F_{U,max}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{F_{U,max} = F_Z \cdot k } \\[5px]
\end{align}

Gemäß Gleichung (\ref{ausbeute}) ist die Ausbeute nur vom Umschlingungswinkel und vom Reibungskoeffizienten abhängig. Während der Reibungskoeffizient für beide Riemenscheiben gleichermaßen gilt, ist der Umschlingungswinkel an der kleineren Scheibe meist geringer. Somit ist die kleinere Scheibe (meist die Antriebsscheibe) für die Ausbeute bzw. die gesamte Kraftübertragung maßgebend. Anhand von Gleichung (\ref{ausbeute}) zeigt sich jedoch auch, dass der Umschlingungswinkel umso weniger Einfluss auf die Ausbeute nimmt, je größer der Reibungskoeffizient gewählt wird. Die relativ geringe Änderung des Umschlingungswinkels unter Last (aufgrund der Durchhängung des Leertrums) spielt für große Reibzahlen in der Praxis somit eine untergeordnete Rolle.

Anmerkung: Aufgrund der Elastizität des Riemens kommt es beim Umlauf um die Riemenscheiben zu Dehnvorgängen im Riemen. Diese Dehnvorgänge sind dem Anstieg (bzw. dem Abfall) der Riemenspannung beim Übergang vom Leertrum in das Zugtrum (bzw. vom Zugtrum in das Leertrum) geschuldet - der Riemen dehnt sich entsprechend der wirkenden Kraft auf der Scheibe. Damit kommt es stets zu Relativbewegungen zwischen Riemen und Scheibe (Dehnschlupf genannt). Es handelt sich zwischen Riemen und Scheibe somit nicht um eine Haftreibungswirkung sondern vielmehr um eine Gleitreibung! Deshalb sollte bei Anwendung der oberen Gleichungen auch die Gleitreibzahl anstelle der Haftreibzahl verwendet werden. Hinzu kommt dabei, dass die Stärke der Gleitreibungswirkung von der (Dehn-)Geschwindigkeit abhängig ist und somit der Gleitreibungskoeffizient von der Riemengeschwindigkeit beeinflusst wird!

Merke:

  • Maßgebend für die Kraftübertragung bei Riementrieben ist die Umfangskraft, die sich als resultierende Kraft aus der Differenz von Zugtrumskraft und Leertrumskraft ergibt.
  • Da die Umfangskraft als Resultierende effektiv am Umfang der Riemenscheiben wirkt und für die Kraftübertragung genutzt wird, wird sie häufig auch als Nutzkraft bezeichnet.
  • Die Umfangskraft entsteht an der Antriebsscheibe über das dort wirkende Drehmoment und dem Scheibenwirkdurchmesser.
  • An der Abtriebsscheibe bewirkt die Umfangskraft ein entsprechend geändertes Drehmoment gemäß des dortigen Scheibenwirkdurchmessers.
  • Die Umfangskraft selbst wird durch Reibungskräfte zwischen Scheibe und Riemen übertragen.
  • Die Leertrumskraft darf ein bestimmtes Minimum nicht unterschreiten, da sonst die Riemenspannung verloren geht und keine ausreichende kraftübertragende Reibungskraft entstehen kann - hierfür ist eine Vorspannkraft im Ruhezustand nötig.
  • Die Ausbeute beschreibt wieviel Prozent der Zugtrumskraft maximal als effektiv nutzbare Umfangskraft zur Verfügung steht; der Rest entfällt dabei auf die Leertrumskraft zur Aufrechterhaltung der Riemenspannung.
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