Lagerkraft

Die wirkenden Kräfte im Riemen pressen diesen auf die Scheibe und hierdurch wiederum auf das entsprechende Lager der Welle. Die Lagerkraft der Welle (auch als Achskraft oder Wellenkraft bezeichnet) steht somit mit den Trumkräften im Gleichgewicht. Über den Kosinussatz lässt sich diese Wellenkraft \(F_W\) aus der Zugtrumskraft \(F_Z\) und der Leertrumskraft \(F_L\) sowie aus dem dazwischenliegenden Umschlingungswinkel \(\varphi\) ermitteln:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{lagerkraft}
F_W=\sqrt{F_Z^2 + F_L^2 - 2 \cdot F_Z \cdot F_L \cdot \cos(\varphi)} ~~~~~\text{,}\\[5px]
\end{align}

wobei der Umschlingungswinkel durch den Durchmesser der kleinen bzw. großen Scheibe \(d_k\) bzw. \(d_g\) sowie durch den Wellenabstand \(e\) gegeben ist (siehe Abschnitt Umschlingung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{phi}
&\boxed{\varphi = \pi - 2 \cdot \arcsin\left( \frac{d_g-d_k}{2e}\right)} ~~~\text{Bogenmaß!} \\[5px]
\end{align}

Riemengetrieb, Lagerkraft, Wellenkraft, Wellenbelastung, Formel, Ermittlung, Vorspannkraft, Vorspannung

Interaktive Abbildung: Lagerkraft (Wellenbelastung)

Wird die Zug- bzw. Leertrumskraft über die Vorspannkraft \(F_V\) und die zu übertragende Umfangskraft \(F_U\) ausgedrückt (siehe Kapitel Vorspannkraft),

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{trumkraefte}
&F_Z = F_V + \tfrac{F_U}{2} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~ F_L =F_V - \tfrac{F_U}{2} ~\text{,}  \\[5px]
\end{align}

dann kann die Wellenbelastung \(F_W\) auch wie folgt ausgedrückt werden: 

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_W=\sqrt{\left(F_V + \tfrac{F_U}{2} \right)^2 + \left( F_V - \tfrac{F_U}{2} \right)^2 - 2 \cdot \left(F_V + \tfrac{F_U}{2} \right) \cdot \left( F_V - \tfrac{F_U}{2} \right) \cdot \cos(\varphi)} \\[5px]
\label{F_W}
&\boxed{F_W=\sqrt{2 F_V^2 \cdot \left[1-\cos(\varphi) \right] +  \tfrac{1}{2} F_U^2 \cdot \left[1+\cos(\varphi)\right] }  } \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass für die Berechnung Lagerkraft prinzipiell keine Fliehkräfte zu berücksichtigen sind. So muss zwar der Riemen im Ruhezustand um den Betrag der zu erwartenden Fliehkraft stärker gespannt werden, diese zusätzliche Riemenfliehkraft wirkt aber im späteren Betrieb nicht auf die Lager, da der Riemen ja mit genau diesem Kraftbetrag versucht ist von der Scheibe abzuheben und damit das Lager im selben Maße wieder entlastet. Die angreifenden Fliehkräfte am Riemen und die zusätzlich im Riemen wirkende Riemenfliehkraft bilden ein geschlossenes Kräftepolygon [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]. Relevant für die Lagerbelastung ist im Betriebszustand somit nur die dynamische Vorspannung \(F_V\).

Für den Fall, dass der Umschlingungswinkel 180° (\(varphi=\pi\)) beträgt, wird die Wellenbelastung maximal, da die Trumkräfte dann parallel sind und somit in vollem Maße wirken. Mit \(\cos(\pi)=-1\) folgt direkt aus der oberen Gleichung, dass die Wellenbelastung im späteren Lastbetrieb dem zweifachen Wert der dynamischen Vorspannkraft \(F_V\) entspricht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{wellenbelastung}
&F_W=2 \cdot F_V  \\[5px]
\end{align}

Im Kapitel Vorspannung konnte gezeigt werden, dass die maximal übertragbare Umfangskraft \(F_{U,max}\) über folgende Formel mit der dynamischen Vorspannkaft \(F_V\) zusammenhängt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{vorspannung}
&F_{V,min} = F_{U} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) } ~~~ \text{bzw.} ~~~\underline{F_{V} = F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) }} \\[5px]
\end{align}

Wird nun Gleichung (\ref{vorspannung}) in Gleichung (\ref{wellenbelastung}) eingesetzt, so ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen der vorhandenen Lagerkraft \(F_W\) und der damit verbundenen maximal übertragbaren Umfangskraft \(F_{U,max}\): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_W=2 \cdot F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) } \\[5px]
&F_W=F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{e^{\mu \cdot \varphi} -1} \\[5px]
\label{durchzugsgrad}
&F_{U,max} = F_W \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1} \\[5px]
&\boxed{F_{U,max} = F_W \cdot \phi } ~~~~~\text{mit}~~~~~\boxed{\phi = \frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1}} ~~~\text{Durchzugsgrad} \\[5px]
\end{align}

Der in der oberen Gleichung auftretende Ausdruck \(\frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1}\) wird auch als Durchzugsgrad \(\phi\) bezeichnet. Ein Durchzugsgrad von bspw. \(\phi\) = 0,8 bedeutet anschaulich, dass maximal 80 % der im Betrieb vorhandenen Lagerkraft für die Nutzkraftübertragung zur Verfügung steht (gilt strenggenommen nur für parallele Trume). Grundsätzlich gilt aber: Umso höher der Durchzugsgrad, desto stärker zieht der Riemen im Vergleich zur Lagerkraft sozusagen "durch".

Das Aufbringen der Vorspannkraft im lastfreien kann über das Einstellen der Lagerkraft erfolgen. Denn im lastfreien Stillstand, d.h. wenn keine Umfangskraft übertragen wird (\(F_U=0\)), ist die Wellenbelastung nur durch die Gesamtvorspannkraft \(F_{V,ges}\) bestimmt (Beachte, dass in diesem Fall die Gesamtvorspannkraft auch die auszugleichenden Riemenfliehkräfte beinhaltet!):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{F_{W,0}=F_{V,ges} \cdot \sqrt{2 \left[1-\cos(\varphi) \right] }  } \\[5px]
\end{align}

Riemengetrieb, Lagerkraft, Wellenkraft, Wellenbelastung, Formel, Ermittlung, Vorspannkraft, Vorspannung

Interaktive Abbildung: Lagerkraft im lastfreien Zustand

Somit kann durch Anpassung bzw. Messung der Lagerkraft im lastfreien Zustand \(F_{W,0}\) die Gesamtvorspannkraft \(F_{V,ges}\) eingestellt bzw. bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{F_{V,ges}=F_{W,0} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \left[1-\cos(\varphi) \right] }}  } \\[5px]
\end{align}

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