Leistungsübertragung

Im Kapitel "Leistung" wurde gezeigt, dass ein Körper der durch eine Kraft \(F\) mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt wird die Leistung \(P=F \cdot v\) umsetzt. Auf den Riementrieb übertragen bedeutet dies: wird der Riemen durch die effektiv wirksamen Umfangskraft \(F_U\) mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, dann überträgt der Riemen die Leistung \(P=F_U \cdot v\): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{leistung}
\boxed{P=F_U \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Diese Leistung wird von der Antriebsscheibe auf den Riemen übertragen und dann an die Abtriebsscheibe weitergegeben (Beachte, dass ein Getriebe nicht die Leistung ändert!). Der Riemen dient sozusagen als "Übermittler" der Leistung zwischen Antrieb und Abtrieb. Dabei zeigt sich jedoch, dass der Riemen aufgrund seiner begrenzten Festigkeit keine beliebig hohen Leistungen übertragen kann.

Denn gemäß Gleichung (\ref{leistung}) bedeutet eine große Leistung immer auch eine hohe Geschwindigkeit. Hohe Geschwindigkeiten führen aber zur Zunahme der Fliehkräfte. Da die zulässige Riemenspannung im Zugtrum jedoch begrenzt ist, geht die Zunahme der Fliehkräfte auf Kosten der maximal zulässigen Zugtrumskraft. Dies wird auch direkt anhand der im vorherigen Abschnitt hergeleiteten Spannungsgleichung deutlich, in der die Summe aus Zugtrumsspannung \(\sigma_Z\), Biegespannung \(\sigma_b\) und geschwindigkeitsabhängiger Fliehkraftspannung \(\sigma_F(v)\) die maximal zulässige Gesamtspannung \(\sigma_{zul}\) nicht überschreiten darf:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\sigma_Z + \sigma_b + \sigma_F(v) \le \sigma_{zul} \\[5px]
\label{zulaessige}
&\boxed{\sigma_{Z,zul} \le \sigma_{zul} -\sigma_b - \sigma_F(v)} ~~~\text{mit}~~~\boxed{\sigma_{F}(v) = \rho \cdot v^2} ~~~\text{und}~~~ \boxed{\sigma_b =E_b \cdot \frac{s}{d + s}}\\[5px]
\end{align}

Die zulässige Zugtrumsspannung \(\sigma_{Z,zul}\) sinkt also nach Gleichung (\ref{zulaessige}) mit zunehmender Fliehkraftspannung \(\sigma_F(v)\). Damit ist dann aber auch direkt eine Abnahme der maximal übertragbaren Umfangskraft \(F_{U,max}\) verbunden. Denn bei gegebener Zugtrumskraft, die in diesem Fall der maximal zulässigen Kraft \(F_{Z,zul}=\sigma_{Z,zul} \cdot A\) entspricht, kann über die Ausbeute \(k\) nur eine bestimmte Umfangskraft \(F_{U,max}\) übertragen werden (zum Begriff "Ausbeute" siehe Kapitel Kraftübertragung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{U,max} = F_{Z,zul} \cdot k \\[5px]
\label{nutzkraft}
&\boxed{F_{U,max} = \sigma_{Z,zul} \cdot A \cdot k} ~~~\text{mit}~~~ \boxed{k= \left(1- \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \right) } ~~~\text{als Ausbeute} \\[5px]
\end{align}

Niedrige Umfangskräfte führen gemäß Gleichung (\ref{leistung}) dann aber wiederum zu einem Absinken der Leistung. Im Extremfall sind bei sehr hohen Geschwindigkeit die Fliehkräfte so groß, dass sogar gar keine Umfangskraft mehr übertragen werden kann (und damit keine Leistung), da ansonsten sofort die zulässige Riemenspannung überschritten werden würde. Zu hohe Riemengeschwindigkeiten verbieten also die Übertragung von großen Leistungen!

Umgekehrt können bei geringen Geschwindigkeiten dann zwar größere Umfangskräfte und damit vordergründig höhere Leistungen erzielt werden, wenn dies aber dazu führt, dass die Riemengeschwindigkeit soweit gedrosselt werden muss (da ansonsten die Fliehkräfte zu groß werden würden), dass sich der Riemen kaum noch bewegt, dann steckt hinter der großen Umfangskraft ohnehin auch keine große Leistung!

Tatsächlich gibt es deshalb bei Riementrieben eine wirtschaftlich optimale Riemengeschwindigkeit \(v_{opt}\) bei der die maximale Leistung \(P_{max}\) übertragen werden kann, d.h. ein optimales Kraft-Geschwindigkeits-Verhältnis vorliegt. Um diese optimale Riemengeschwindigkeit zu bestimmen, müssen die Gleichungen (\ref{zulaessige}), (\ref{nutzkraft}) und (\ref{leistung}) miteinander kombiniert werden, um hiermit zunächst die Leistung \(P_{max}\) in Abhängigkeit der Geschwindigkeit \(v\) ausdrücken zu können:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&P_{max} = F_{U,max} \cdot v \\[5px]
&P_{max} = \sigma_{Z,zul} \cdot A \cdot k \cdot v \\[5px]
&P_{max} = \left( \sigma_{zul} -\sigma_b - \sigma_F(v) \right) \cdot A \cdot k \cdot v \\[5px]
&P_{max} = \left( \sigma_{zul} - \sigma_b - \rho \cdot v^2 \right) \cdot A \cdot k \cdot v \\[5px]
\end{align}

Wird die Querschnittsfläche \(A\) des Flachriemens durch dessen Riemendicke \(s\) und dessen Riemenbreite \(b\) ausgedrückt (\(A=b \cdot s\)), dann ergibt sich die maximale übertragbare Leistung \(P_{max}\) bei gegebener Geschwindigkeit \(v\) schließlich wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{abs_leistung}
&\boxed{P_{max}(v) = \left( \sigma_{zul} - \sigma_b - \rho \cdot v^2 \right) \cdot b \cdot s  \cdot k \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass für die Ausbeute \(k\) der kleinste auftretende Umschlingungswinkel maßgebend ist! In der Regel trifft dies für die kleinste vorhandene Scheibe zu, zumal dort auch die größten Biegespannungen wirken. Sowohl der Umschlingungswinkel \(\varphi\) (für die Ausbeute relevant) als auch der Scheibendurchmesser \(d\) (für die Biegespannung relevant) beziehen sich somit auf die kleinste Scheibe (meist die Antriebsscheibe).

Häufig wird die Leistung \(P_{max}\) auch auf die Riemenbreite \(b\) bezeogen und als sogenannte spezifische Leistung \(p_{max}\) angegeben ("Leistung pro Millimeter Riemenbreite"). Beachte, dass die Riemendicke \(s\) zur Berechnung der Biegespannung \(\sigma_b\) ohnehin im Vorfeld als gegeben vorausgesetzt werden muss und somit die Riemenbreite als einzig unbekannte Geometriegröße \(b\) übrig bleibt. Es macht deshalb Sinn die Leistung zunächst unabhängig von der Riemenbreite auszudrücken und als spezifische Leistung anzugeben:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p_{max} = \frac{P_{max}}{b} \\[5px]
\label{spez_leistung}
&\boxed{p_{max} (v) =\left( \sigma_{zul} - \sigma_b - \rho \cdot v^2 \right) \cdot s \cdot k \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Anhand dieser maximal übertragbaren spezifischen Leistung \(p_{max}\) wird in der Praxis dann schließlich die zur Übertragung der Nennleistung \(P_N\) erforderliche Riemenbreite \(b_{erf}\) ermittelt. Zur Sicherheit werden dabei noch verschiedene Betriebsfaktoren \(C\) berücksichtigt, die den Einfluss von stoßartigen Drehmomentbelastungen und verschiedene Umwelteinflüsse die zur Reibungsabnahme führen könnten, beinhalten:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{b_{erf} =\frac{P_N}{p_{max} \cdot C} } \\[5px]
\end{align}

Die untere Abbildung zeigt für die im Diagramm angegebenen Werte die maximal übertragbare spezifische Leistung \(p_{max}\) in Abhängigkeit der Riemengeschwindigkeit \(v\). Es wird nun auch graphisch nochmals deutlich, dass weder zu geringe noch zu große Riemengeschwindigkeiten zu einer beliebig hohen übertragbaren Leistungen führen. Es existiert ein ausgesprochenes Kurvenmaximum, in dem die größtmögliche Maximalleistung übertragen werden kann.

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Abildung: Optimale Riemengeschwindigkeit

Um dieses Maximum zu erreichen muss die Riemengeschwindigkeit auf das entsprechende Optimum eingestellt werden. Man bezeichnet dies auch als optimale Riemengeschwindigkeit und liegt im vorliegenden Fall bei etwa \(v_{opt} \approx\ 50 \frac{\text{m}}{\text{s}}\) und entspricht einer Drehzahl der kleinen Scheibe von 4774 \(\frac{1}{min}\). Wie dieses Beispiel zeigt liegen die optimalen Riemengeschwindigkeiten häufig sehr hoch und werden in der Praxis meist nicht erreicht.

Um die optimale Riemengeschwindigkeit zu berechnen, muss für die Funktion \(p_{max}(v)\) bzw. \(P_{max}(v)\) der Maximalwert gefunden werden. Mathematisch entspricht dies dem Ableiten und Nullsetzen der entsprechenden Funktion:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{\text{d}p_{max}(v)}{\text{d}v} = 0 \\[5px]
&\left( \sigma_{zul} - \sigma_b - 3 \rho \cdot v^2 \right) \cdot s \cdot k = 0 \\[5px]
&\sigma_{zul} - \sigma_b - 3 \rho \cdot v^2 = 0 \\[5px]
\label{v_opt}
&\boxed{v_{opt} = \sqrt{\frac{\sigma_{zul} - \sigma_b  }{3 \rho}}} ~~~\text{mit}~~~ \boxed{\sigma_b = E_b \cdot \frac{s}{d + s}}\\[5px]
\end{align}

Bei gegebenem Übersetzungsverhältnis und Drehzahl der Antriebsscheibe kann die Riemengeschwindigkeit durch größere bzw. kleinere Riemenscheiben angepasst werden, um damit die optimale Geschwindigkeit zu erreichen. Um das gewünschte Übersetzungsverhältnis allerdings nicht zu ändern, müssen immer beide Scheibe (d.h. sowohl Antriebs- als auch Abtriebsscheib) im selben Maße verändert werden. Beachte, dass sich durch Änderung des Scheibendurchmessers wiederum die Biegespannung und damit die optimale Riemengeschwindigkeit ändert!

Die maximale spezifische Leistung \(p_{max,opt}\) bzw. absolute Leistung \(P_{max,opt}\), die bei der optimalen Riemengeschwindigkeit \(v_{opt}\) übertragen werden kann, ergibt sich dann durch Einsetzen von Gleichung (\ref{v_opt}) in Gleichung (\ref{spez_leistung}) bzw. (\ref{abs_leistung}):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p_{max, opt} = k \cdot \sqrt{\frac{4 \left(\sigma_{zul} - \sigma_b \right)^3 }{27 \rho}}} \\[5px]
&\boxed{P_{max, opt} = k \cdot b \cdot \sqrt{\frac{4 \left(\sigma_{zul} - \sigma_b \right)^3 }{27 \rho}}} \\[5px]
\end{align}

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