Biegespannung

Die in Riemen wirkenden Kräfte dürfen bestimmte Grenzen nicht überschreiten, da der Riemen sonst Schaden nimmt und sich entweder unzulässig verformt oder gar reißt. Es gelten deshalb bestimmte Spannungsgrenzen, die je nach Riemenwerkstoff einzuhalten sind. Ob diese eingehalten werden, hängt von den Kräften ab die im Betrieb auf den Riemenquerschnitt wirken. Neben den quasi-statischen Trumkräften (relevant für die Kraftübertragung) wirken die im Abschnitt zuvor erläuterten Fliehkräfte. Die hieraus resultierenden Spannungen \(\sigma\) erhält man indem man die Kräfte auf die Querschnittsfläche \(A\) des Riemens bezieht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\sigma_Z &= \frac{F_Z}{A}  &&~~~\text{Zugtrumspannung}  \\[5px]
\sigma_L &= \frac{F_L}{A}  &&~~~\text{Leertrumspannung}  \\[5px]
\sigma_F &= \frac{F_F}{A} &&~~~\text{Fliehkraftspannung} \\[5px]
\end{align}

Für die Fliehkraftspannung kann die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete Fliehkraftformel genutzt werden,

\begin{align}\;\;\;\;\;
F_F = m' \cdot v^2 ~~~~~\text{mit} ~~~~~ m' = \frac{m}{L},
\end{align}

wobei \(m'\) dem Längengewicht des Riemens entspricht (Kilogramm pro Meter):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\sigma_F = \frac{F_F}{A} = \frac{m' \cdot v^2}{A} = \frac{m\cdot v^2}{\underbrace{L \cdot A}_{\text{Volumen } V}} = \frac{m\cdot v^2}{V} = \underbrace{\frac{m}{V}}_{\text{Dichte } \rho} \cdot v^2 = \rho \cdot v^2  \\[5px]
&\boxed{\sigma_F = \rho \cdot v^2}  \\[5px]
\end{align}

Bei der Herleitung dieser Formel wurde ausgenutzt, dass der Ausdruck \(L \cdot A\) dem Riemenvolumen \(V\) und damit \(\frac{m}{V}\) der Dichte \(\rho\) des Riemenmaterials entspricht. Somit hängt die Riemenfliehkraft nur von der Riemendichte und der Riemengeschwindigkeit ab.

Zudem müssen nun auch Biegespannungen \(\sigma_b\) im Riemen berücksichtigt werden, da sich der Riemen beim Umlauf um die Scheiben schließlich biegt. Dabei wird der Riemen in den äußeren Randbereichen gedehnt und in den inneren Bereichen gestaucht, dazwischen verläuft die neutrale Faser die weder eine Dehnung (Einschnürung) noch eine Stauchung (Ausbauchung) erfährt [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung].

Riementrieb, Riemen, Biegespannung, Biegung, Querschnitt, Dehnung, Stauchung, Einschnürung, Ausbauchung

Interaktive Abbildung: Induzieren von Biegespannungen 

Die Dehnungen und Stauchungen führen zu Zugspannungen im äußeren und zu Druckspannungen im inneren Riemenbereich. Maßgebend sind in diesem Fall die Zugspannungen, da diese zusätzlich zu den Trum- und Fliehkräften ebenfalls eine ziehende Wirkung haben und der Riemen damit in diesen Bereichen maximal beansprucht wird. Die durch Biegung verursachten Zugspannungen nehmen durch die größer werdende Dehnung ausgehend der neutralen Faser nach außen hin zu und sind am äußersten Riemenrand maximal. Diese maximale Randspannung wird dann auch als Biegespannung \(\sigma_b\) bezeichnet.

Riementrieb, Riemen-Spannung, Biegespannung, Zugspannung

Abbildung: Biegespannungen 

Es ist davon auszugehen, dass die Biegespannungen umso größer werden je stärker der Riemen gebogen wird (d.h. umso kleiner die Scheibe ist) und je dicker der Riemen ist. Nach der linear-elastischen Biegetheorie kann die Biegespannung \(\sigma_b\) bei gegebenem Biegeradius bzw. Biegedurchmesser \(d\) (=Durchmesser der Riemenscheibe) und gegebener Dicke \(s\) des Riemens mithilfe des sogenannten Biegemoduls \(E_b\) des Riemenwerkstoffes ermittelt werden (der Biegemodul ist nicht mit dem Elastizitätsmodul aus dem Zugversuch zu verwechseln!):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{\sigma_b = E_b \cdot \frac{s}{d + s}} ~~~\text{Biegespannung} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die oberen Zeichnungen nicht maßstabsgetreu sind. Gerade bei Flachriemen ist die Riemendicke wesentlich kleiner als die Riemenbreite. Dies gilt auch für das Verhältnis von Scheibendurchmesser zur Riemendicke, das in der Größenordnung von etwa 50 bis 100 liegt, d.h. der Scheibendurchmesser ist um den Faktor 50 bis 100 größer als die Riemendicke. Aus diesem Grund kann die Riemendicke \(s\) gegenüber dem Durchmesser \(d\) der Riemenscheibe häufig vernachlässigt werden. In diesen Fällen können die Biegespannungen dann auch mit nachfolgend angegebener Formel bestimmt werden, wobei durch die konservative Vereinfachung die tatsächlichen Biegespannungen geringer sind als die hierdurch berechneten.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\sigma_b = E_b \cdot \frac{s}{d + \underbrace{s}_{\ll d}} \approx E_b \cdot \frac{s}{d} \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich, dass die Biegespannungen direkt vom Verhältnis Riemendicke zu Scheibendurchmesser abhängig sind und damit umso größer werden je kleiner der Scheiberadius und je größer die Riemendicke ist. Somit tritt die größte Biegespannung beim Umlauf des Riemens um die kleinere der beiden Riemenscheiben auf (meist die Antriebsscheib)! Die untere Abbildung zeigt hierzu schematisch die Spannungsverteilung im Riemen. Darin bezeichnet die Nutzspannung \(\sigma_N\) die auf den Riemenquerschnitt \(A\) bezogene Nutzkraft (Umfangskraft \(F_U\)), die effektiv an der Kraftübertragung beteiligt ist. Sie ergibt sich aus der Differenz von Zugtrumsspannung \(\sigma_Z\) und Leertrumsspannung \(\sigma_L\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\sigma_N = \frac{F_U}{A} = \frac{F_Z - F_L}{A} = \frac{F_Z}{A} - \frac{F_L}{A} = \sigma_Z - \sigma_L \\[5px]
\end{align}

Riementrieb, Riemenspannung, Zugtrum, Leertrum, Biegespannung, Vorspannung, Vorspannkraft, Fliehkraft-Spannung

Interaktive Abbildung: Spannungsverteilung im Riemen

Fahre mit der Maus über die Abbildung, um im Vergleich die Spannungsverteilung im lastfreien Ruhezustand zu sehen. Die Gesamtvorspannung ist dabei aufgeteilt in einen Anteil der im späteren Betrieb für die kraftübertragende Anpressung sorgt (dynamische Vorspannung) und einen Anteil der zusätzlich zur Kompensation von Fliehkräften aufzuwenden ist (Fliehkraftvorspannung).

Während die Fliehkraftspannung \(\sigma_F\) im gesamten Riemen gleichermaßen wirkt und die Trumspannungen \(\sigma_Z\) und \(\sigma_L\) in diesem Maße nur in den entsprechenden Trumabschnitten vorhanden sind, wirkt die Biegespannung lediglich beim Umlauf um Riemenscheiben, wobei die größte Biegespannung an der kleinere Antriebsscheibe zu verzeichnen ist. Somit ergibt sich die maximale Riemenspannung im Zugtrum und zwar an jener Stelle an der der Riemen auf die kleinere der beiden Riemenscheiben aufläuft. Die Summe aus Zugtrumsspannung \(\sigma_Z\), Fliehkraftspannung \(\sigma_F\) und Biegespannung \(\sigma_b\) entspricht der maximal auftretenden Riemenspannung \(\sigma_{max}\). Nach dieser Maximalspannung richtet sich die Riemenauswahl, wobei stets darauf zu achten ist, dass die maximal zulässige Riemenspannung \(\sigma_{zul}\) dabei nicht überschritten wird.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{zulaessige}
\boxed{\sigma_{max} = \sigma_Z + \sigma_F + \sigma_b} \le \sigma_{zul}\\[5px]
\end{align}

Biegevorgänge finden im Riemen grundsätzlich bei jedem Umlauf um eine Riemenscheibe statt. Unabhängig davon ob es sich um eine Antriebs- oder Abtriebsscheibe oder um Spannrollen, Führungsrollen, Umlenkrollen, etc. handelt. Bei jedem Biegevorgang wird der Riemen durchgewalkt, was mit einer zusätzlich aufzubringenden Walkarbeit verbunden ist. Dabei gilt: Je kleiner der Scheibendurchmesser desto größer die Walkarbeit und umso stärker erwärmt sich auch der Riemen. Die aufzubringende Walkarbeit setzt nicht nur den Wirkungsgrad herab sondern belastet den Riemen sowohl mechanisch als auch thermisch sehr stark. Je mehr Biegevorgänge pro Zeit ein Riemen durchläuft, d.h. je höher seine Biegefrequenz \(f_b\) ist, desto geringer wird grundsätzlich seine Lebensdauer sein. Deshalb darf der Riemen je nach Art und Hersteller eine bestimmte zulässige Biegefrequenz \(f_{b,zul}\) nicht überschreiten. Die Biegefrequenz \(f_b\) selbst bestimmt sich aus der Riemenlänge \(L\), der Riemengeschwindigkeit \(v\) und der Anzahl der Scheiben \(z\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{f_b = \frac{z \cdot v }{L} }\le f_{b,zul} ~~~~~[f] = \frac{1}{\text{s}} = \text{Hz}\\[5px]
\end{align}

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