Grundlagen der Kraftübertragung

Der Antrieb der Riemenscheibe durch die wirkende Reibungskraft zwischen Riemen und Scheibe kann wie folgt veranschaulicht werden. Hierzu wird zunächst eine feststehende Riemenscheibe betrachtet, um die ein offener Riemen gelegt wird. Man stelle sich hierzu eine Person vor, die die Riemenscheibe am Umfang festhält. An einem Riemenende wird nun mit der Kraft \(F_L\) gehalten ("Leertrumskraft"). Diese Halten kann im Prinzip auch einfach eine angehängte Last sein. Am anderen Riemenende zieht eine Person mit der maximalen Kraft \(F_{Z,max}\) ("Zugtrumskraft"), sodass der Riemen aber gerade noch nicht über die feststehende Scheibe rutscht. In diesem Zustand auf der Zugseite nicht nur die Haltekraft \(F_L\) überwunden werden sondern zusätzlich noch die maximal wirksame Reibungskraft \(F_{R,max}\) aufgebracht werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{Z,max} =F_L + F_{R,max} \\[5px]
\label{zugkraft}
&\boxed{F_{R,max} =F_{Z,max} - F_L} \\[5px]
\end{align}

Riemengetriebe, kraftübertragung, Seilreibung, Zugtrum, Leertrum, Reibung, Reibungskraft, Umfangskraft, Nutzkraft

Interaktive Abbildung: Eytelweinsche Seilreibung

Der Zusammenhang zwischen der Haltekraft \(F_L\) und der maximal aufzuwendenden Zugkraft \(F_{Z,max}\) wird durch die Eulersche-Eytelweinsche Seilreibungsgleichung:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{eytelwein}
&\boxed{F_{Z,max} =F_L \cdot e^{\mu \cdot \varphi}} ~~~\text{Seilreibungsgleichung} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet \(\varphi\) den Umschlingungswinkel (im Bogenmaß anzugeben!) und \(\mu\) den Reibungskoeffizienten zwischen Riemen und Scheibe (auch Reibwert oder Reibzahl genannt).

Nach dieser Gleichung kann bei gegebener Kaft im Leertrum \(F_L\) somit am Zugtrum maximal mit der Kraft \(F_{Z,max} = F_L \cdot e^{\mu \cdot \varphi}\) gezogen werden, sodass das Seil gerade noch nicht von der feststehenden Riemenscheibe rutscht. Über die in diesem Zustand maximal wirkende Reibungskraft \(F_{R,max}\) versucht der Riemen also dabei die noch feststehende Scheibe in Rotation zu versetzen. Dies Kraft verspürt auch die Person, die die Riemenscheibe am Umfang festhält. Die Reibungskraft wirkt somit als Umfangskraft, mit der die Scheibe versucht zu rotieren. Wird die Riemenscheibe in diesem Zustand losgelassen, dann wird sie folglich mit dieser Umfangskraft bzw. mit der maximal möglichen Reibungskraft \(F_{R,max}\) angetrieben. Dies entspricht nach Gleichung (\ref{zugkraft}) gerade der Differenz der Kräfte \(F_Z\) und \(F_L\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{R,max} = F_{Z,max} - F_L = F_L \cdot e^{\mu \cdot \varphi} - F_L \\[5px]
\label{reibungskraft}
&\boxed{F_{R,max} =F_L \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right)} ~~~\text{maximal mögliche (antreibende) Reibungskraft} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung beschreibt die maximal wirksame Reibungskraft \(F_{R,max}\) mit der die Riemenscheibe bei gegebener Leertrumskraft \(F_L\) angetrieben werden kann, ohne dass der Riemen dabei durchrutscht. Übertragen auf den Riementrieb bedeutet dies, dass zwingend eine Kraft im Leertrum vorhanden sein muss, wenn eine antreibende Reibungskraft zwischen Riemen und Scheibe zustande kommen soll!

Das zwingend notwendige Vorhandensein einer Leertrumskraft zur Kraftübertragung lässt sich im vorliegenden Beispiel auch direkt aus der Erfahrung heraus erklären. Stellt man sich nämlich vor, dass auf der Leertrumsseite das Gewicht fehlt, dann würde man beim Ziehen lediglich das Seil ohne großen Kraftaufwand (und damit ohne große kraftübertragende Reibungskraft) locker über die Scheibe ziehen. Die Person, die die Scheibe am Umfang festhält, würde kaum eine Umfangskraft wahrnehmen. Es fehlt in diesem Fall die notwendige Anpresskraft des Riemens auf die Riemenscheibe, um eine große Reibungskraft und damit Umfangskraft erzeugen zu können. Diese Anpresskraft kann überhaupt erst durch das Gewicht im Leertrum zustande kommen! Nur so können große Reibungskräfte wirken und hohe Kräfte übertragen werden.

Auf Riemengetriebe übertragen würde das Fehlen einer Leertrumskraft letztlich bedeuten, dass der Riemen ohne Spannung ist und sich nicht an die Riemenscheiben pressen kann um die notwendige Reibungskraft zur Kraftübertragung bereitzustellen. Somit ist zwingend eine Kraft im Leertrum (Riemenspannung) erforderlich, wenn eine bestimmte Kraftübertragung gewährleistet werden soll. Wie groß die Leertrumskraft bei gegebener Zugtrumskraft mindestens sein muss, kann ebenfalls aus der Eytelwinschen Seilreibungsgleichung bestimmt werden. Dabei wird nun davon ausgegangen, dass die Kraft im Zugtrum mit \(F_Z\) gegeben ist. Die Fragestellung lautet dann, mit welcher Mindestkraft \(F_{L,min}\) am Leertrum gehalten werden muss, damit der Riemen bei gegebener Zugtrumskraft \(F_Z\) gerade nicht mehr über die Scheibe rutscht (Beachte, dass die Zugtrumskraft sozusagen immer der "aktiv" ziehenden und die Leertrumskraft immer der "passiv" gezogenen/haltenden Kraft entspricht). Damit wird Gleichung (\ref{eytelwein}) zu:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{Z} =F_{L,min} \cdot e^{\mu \cdot \varphi}  \\[5px]
\label{minimal}
&\boxed{F_{L,min} =F_{Z} \cdot \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}}} ~~~\text{minimal aufzubringende Leertrumskraft} \\[5px]
\end{align}

Riemengetriebe, kraftübertragung, Seilreibung, Zugtrum, Leertrum, Reibung, Reibungskraft, Umfangskraft, Nutzkraft

Interaktive Abbildung: Eytelweinsche Seilreibung

Aus Gleichung (\ref{minimal}) lässt sich nun derselbe Sachverhalt ableiten. Soll eine Kraft im Zugtrum durch den Riemen übertragen werden, damm muss auch unweigerlich eine Mindestkraft \(F_{L,min}\) im Leertrum vorhanden sein, ansonsten würde es aufgrund fehlender Riemenspannung zum Abrutschen kommen! Bei dieser Mindestkraft wirkt die maximal antreibende Reibungskraft (da mit der geringst möglich Kraft entgegen der Zugrichtung gehalten wird). Diese maximale Reibungskraft bestimmt sich analgo zu Gleichung (\ref{zugkraft}):

\begin{align}\;\;\;\;\;
& F_{R,max} = F_{Z} - F_{L,min} = F_Z - F_Z \cdot \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \\[5px]
\label{123}
&\boxed{F_{R,max} =F_Z \cdot \left(1-\frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \right)} ~~~\text{maximal mögliche (antreibende) Reibungskraft} \\[5px]
\end{align}

An dieser Stelle zeigt sich auch die Überlastsicherung die Riementriebe. Hierzu wird das im Kapitel zuvor vorgestellte Beispiel der Seilwinde nochmals betrachtet. Wenn bspw. die Abtriebsscheibe kaum noch die Seilwinde aufgrund zu hoher Last in Bewegung setzen kann, dann steigt die Zugtrumskraft enorm an, da der Motor weiterhin versucht die Antriebsscheibe zu drehen und mit ihr den Riemen zu bewegen. Der Riemen wird im Zugtrum somit sehr stark gedehnt. Die Antriebsscheibe schiebt den Riemen sozusagen in das Leertrum. Als Folge lässt die Riemenspannung im Leertrum nach, was gemäß Gleichung (\ref{reibungskraft}) unmittelbar zu einer Abnahme der maximal möglichen Reibungskraft führt und die Antriebsscheibe ab einem kritischen Punkt schließlich durchrutschen lässt. Ein solches "Drübergleiten" des Riemens über die Scheibe wird auch als Gleitschlupf bezeichnet.

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