Fliehkraft

Bei antriebslosem Riementrieb wirkt im Ruhezustand nur die Vorspannkraft \(F_V\) im Riemen. Sie ist in den gesamten Riemenabschnitten, d.h. in den beiden Trumen gleich groß. Lediglich unter Last wirken unterschiedliche Riemenkräfte und es bildet sich ein Zugtrum mit der Riemenkraft \(F_Z\) und ein Leertrum in dem die Kraft \(F_L\) wirkt aus (siehe Abschnitt zuvor). Steht der Riementrieb dabei Still oder werden nur geringe Geschwindigkeiten gefahren, dann können die Trumkräfte bei konstantem Drehmoment als nahezu unabhängig von der Riemengeschwindigkeit betrachtet werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder - mit "F5" zurücksetzen].

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Interaktive Abbildung: Wirkung von Fliehkräften

Bei größeren Riemengeschwindigkeiten wirken jedoch beachtliche Fliehkräfte (Zentrifugalkräfte) auf die entsprechenden Riemenabschnitte welche um die Riemenscheiben laufen. Diese Zentrifugalkärfe sind dabei versucht den Riemen nach außen zu ziehen und diesen praktisch von der Scheibe abzuheben. Dies würde dann jedoch ein Absinken der Anpresskraft und damit eine Abnahme der Reibungskraft zwischen Riemen und Scheibe bedeuten. Bei großen zu übertragenden Umfangskräften könnte es dann zum Gleitschlupf kommen. Um dies zu vermeiden, müssen die Riemen zusätzlich um den Betrag der wirkenden Fliehkraft gespannt werden (Riemenfliehkraft). Dies kann bspw. über eine größere Vorspannkraft erreicht werden, oder es müssen Spannsysteme verwendet werden. Fakt jedoch ist, dass diese größeren Kräfte letztlich durch den Riemen aufgebracht werden müssen.

Beachte, dass die Fliehkräfte nur an der Umschlingung erzeugt werden, d.h. beim Umlauf des Riemens um die Scheiben. Sie sind dort jeweils radial von den Riemenscheiben weg gerichtet. An den geraden Trumabschnitten wirken selbst zwar keine Fliehkräfte, jedoch wird die dortige Riemenspannung durch die Fliehkräfte beeinflusst. Wird die Durchhängung des Riemens im Leertrum vernachlässigt, dann sind die Fliehkräfte symmetrisch zur Verbindungsline der beiden Scheibenachsen gerichtet. Die jeweils an den gekrümmten Riemenabschnitten resultierende Fliehkraftwirkung wirkt damit entlang dieser Verbindungsline nach außen [siehe Abbildung oben].

Die Fliehkräfte wirken also so, als würde jemand den Riemen nach außen ziehen. Dies macht sich dann eben auch in den geraden Riemenabschnitten als eine zusätzlich vom Riemen aufzubringende Kraft bemerkbar (ansonsten würde es zum besagten Abfallen der Anpresskraft kommen). Diese Fliehkraft geschuldete Riemenkraft wird deshalb Riemenfliehkraft genannt. Aufgrund der symmetrischen Zugwirkung der Fliehkräfte wird auch deutlich, dass diese auf beide Trume gleichermaßen wirkt! Im selben Maße wie also die Gesamtkraft im Zugtrum ansteigt, nimmt auch die Gesamtkraft im Leertrum zu.

Bezeichnet \(F_Z\) die Zugtrumskraft im quasi-statischen Zustand und \(F_L\) die entsprechende Leertrumskraft [siehe oberes Bild mit darüber befindlicher Maus], dann müssen bei hohen Geschwindigkeiten die Riemenkräfte um den Betrag \(F_F\) ansteigen, um die Fliehkraftwirkung zu kompensieren [siehe oberes BIld ohne darüber befindlicher Maus]. Die zusätzlich wirkenden Riemenfliehkräfte beeinflussen die übertragene Umfangskraft \(F_U\) dabei nicht (!):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{umfang}
&F_U = \underbrace{\left(F_Z + F_F \right)}_{\text{Gesamtkraft im Zugtrum}} - \underbrace{\left(F_L + F_F \right)}_{\text{Gesamtkraft im Leertrum}} = F_Z + F_F - F_L - F_L = F_Z - F_L \\[5px]
\label{nutzkraft}
&\boxed{F_U = F_Z - F_L} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass mit den Begriffen Zugtrumkraft und Leertrumkraft häufig nur die für die eigentliche Kraftübertragung relevanten Trumkräfte \(F_Z\) und \(F_L\) nach Gleichung (\ref{nutzkraft}) gemeint sind (Kräfte im quasi-statischen Zustand). Riemenfliehkräfte werden aus dem besagten Grund, dass diese keinen Einfluss auf die übertragende Umfangskraft haben, häufig separat aufgezählt, obgleich beide Kräfte ("Trumkraft+Riemenfliehkraft") gemeinsam im Trum wirken und physikalisch auch nicht getrennt werden können, da sie stets als resultierende Kräftesumme wirken.

Die durch die Fliehkräfte zusätzlich aufzubringende Riemenfliehkraft \(F_F\) soll im Folgenden bei gegebener Riemengeschwindigkeit \(v\) ermittelt werden. Beachte, dass mit der Kraft \(F_F\) also nicht die Fliehkraft selbst gemeint ist sondern die hierdurch zusätzlich notwendige Riemenkraft! Dabei genügt es völlig den lastfreien Leerlaufbetrieb näher zu betrachten, d.h. den rotierenden Riemen ohne dass dabei eine Umfangskraft übertragen wird, da nach Gleichung (\ref{umfang}) die Riemenfliehkräfte ohnehin nicht die Umfangskraft und umgekehrt die Umfangskraft nicht die Riemenfliehkräfte beinflussen.

Riementrieb, Fliehkraft, Zentrifugalkraft, Herleitung, Formel, Kräfte-Freischnitt

Abbildung: Kräfteaddition

Wird der Einfachheithalber also nur ein "leer" laufender Riemen betrachtet, dann ist die einzige Kraft die in diesem Riemen wirkt die Riemenfliehkraft. Diese Kraft hält den Riemen letztlich zusammen. Bei konstanter Riemengeschwindigkeit muss aus Gründen des Kräftegleichgewichts die Riemenfliehkraft an jeder Stelle des Riemens gleich groß sein (ansonsten würde ein freigeschnittener Riemenabschnitt in eine Richtung beschleunigt werden). Dies gilt insbesondere auch für die gekrümmten Riemenabschnitte die über die Scheiben laufen.

Wird ein solcher Riemenabschnitt unter dem Winkel \(\text{d} \varphi\) näher betrachtet, dann muss als mitbewegter Beobachter die an diesem Abschnitt angreifende Fliehkraft \(\text{d}F\) mit den Riemenfliehkräften \(F_F\) im Gleichgewicht stehen. Die vektorielle Kräfteaddition bildet zeichnerisch somit ein geschlossene Kräftedreieck, sodass sich über den als infinitesimal angenommenen Bogenwinkel \(\text{d} \varphi\) folgender Zusammenhang zwischen der Fliehkraft \(\text{d}F\) und der Riemenfliehkraft \(F_F\) ergibt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d} \varphi = \frac{\text{d}F}{F_F} \\[5px]
\label{FF}
&\underline{F_F = \frac{\text{d}F}{\text{d}\varphi}} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Kräftefreischnitt

Die am betrachteten Riemenabschnitt der Masse \(\text{d} m\) wirkende Fliehkraft \(\text{d}F\) ergibt sich aus dem Scheibenradius \(r\) und der Umlaufgeschwindigkeit \(v\) wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d}F = \text{d}m \cdot \frac{v^2}{r} \\[5px]
\end{align}

Die Masse \(\text{d}m\) des betrachteten Riemenabschnitts hängt vom gewählten Winkelausschnitt \(\text{d}\varphi\) ab. Je größer der Winkel, desto größer die Masse \(\text{d}m\). Wird die Gesamtmasse \(m\) des Riemens auf dessen Gesamtlänge \(L\) bezogen ("Längengewicht") und mit \(m'\) bezeichnet

\begin{align}\;\;\;\;\;
&m' = \frac{m}{L} ~~~\text{"Kilogramm pro Meter"},
\end{align}

dann kann über den Bogenwinkel \(\text{d} \varphi\) die (Bogen-)Länge \(\text{d}L\) des betrachteten Riemenabschnitts und damit dessen Masse \(\text{d}m=m' \cdot \text{d} L\) bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{d} \varphi  &= \frac{\text{d}L}{r}  \\[5px]
\text{d}L &= r \cdot \text{d} \varphi \\[5px]
\rightarrow \underline{\text{d} m} &= m' \cdot \text{d}L = \underline{m' \cdot r \cdot \text{d}\varphi}  \\[5px]
\end{align}

Für die Fliehkraft \(\text{d}F\) des unter dem Winkel \(\text{d}\varphi\) betrachteten Riemenabschnitts gilt somit:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{dF}
&\underline{\text{d}F} = \text{d}m \cdot \frac{v^2}{r} = m' \cdot r \cdot \text{d}\varphi \cdot \frac{v^2}{r} = \underline{m' \cdot \text{d}\varphi \cdot v^2} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Gleichung (\ref{dF}) nun in Gleichung (\ref{FF}) eingesetzt, so erhält man die gesuchte Abhängigkeit der Riemenfliehkräfte \(F_F\) von der Riemengeschwindigkeit \(v\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_F = \frac{\text{d}F}{\text{d}\varphi} = \frac{m' \cdot \text{d}\varphi \cdot v^2}{\text{d}\varphi} = m' \cdot v^2  \\[5px]
&\boxed{F_F = m' \cdot v^2}  \\[5px]
\end{align}

Die durch Fliehkraftwirkung zusätzlich aufzubringende Riemenkraft \(F_F\) ist somit nur vom spezifischen Längengewicht \(m'\) und vom Quadrat der Riemengeschwindigkeit \(v\) abhängig. Weder der Scheibendurchmesser noch der Umschlingungswinkel beeinflussen die Riemenfliehkraft!

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