Übersetzungsverhältnisse

 

Im vorherigen Kapitel wurde die Gleichung für klassische Planetengetriebe in folgender Form hergeleitet, welche die Zusammenhänge der unterschiedlichen Dreh- und Zähnezahlen beschreibt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{pl}
&\boxed{n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet \(n_H\) die Drehzahl des Hohlrades und \(z_H\) dessen Zähnezahl sowie \(n_S\) die Drehzahl des Sonnenrades und \(z_S\) dessen Zähnezahl.

Bei einem klassischen Planetenradgetriebe ergeben sich letztlich drei verschiedene Betriebsmodi, je nachdem welche Komponente (Sonnenrad, Planetenradträger oder Hohlrad) festgestellt wird. Der An- und Abtrieb erfolgt dann über die beiden anderen Komponenten. Welche Übersetzungsverhältnisse sich dabei jeweils ergeben, wird im Folgenden gezeigt.

 

Übersetzungsverhältnis bei festgestelltem Sonnenrad

Für den Fall, dass das Sonnenrad festgestellt wird (\(n_S=0\)) und der Antrieb über das Hohlrad und der Abtrieb und den Planetenradträger erfolgt, ergibt sich gemäß Gleichung (\ref{pl}) folgendes Übersetzungsverhältnis \(i_S=\tfrac{n_H}{n_T}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot \underbrace{n_S}_{=0} \\[5px]
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right)  \\[5px]
&\frac{n_H}{n_T} = i_S = \frac{z_H+z_S}{z_H}     \\[5px]
\label{i_S}
&\boxed{i_S = 1+\frac{z_S}{z_H}} ~~~1<i_S<2 \\[5px]
\end{align}

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Animation: Übersetzungsverhältnis bei feststehendem Sonnenrad und Antrieb über das Hohlrad

Anhang von Gleichung (\ref{i_S}) zeigt sich, dass bei antreibendem Hohlrad und abtreibendem Planetenradträger das Übersetzungsverhältnis in jedem Fall größer 1 ist, d.h. eine Übersetzung ins Langsame vorliegt. Aber auch nach oben hin ist die Übersetzung begrenzt, da die Zähnezahl des Sonnenrades stets kleiner sein muss als die des Hohlrades (ansonsten wäre das Sonnenrad größer als das umschließende Hohlrad). Im theoretischen Grenzfall, wenn das Sonnenrad genauso groß ist wie das Hohlrad und beide somit identische Zähnezahlen aufweisen, ist das Verhältnis der Zähnezahlen \(\frac{z_S}{z_H}\)=1 und das Übersetzungsverhältnis damit maximal 2.

Wird An- und Abtrieb bei feststehendem Sonnenrad vertauscht, d.h. erfolgt der Antrieb über den Planetenradträger und der Abtrieb über das Hohlrad, dann liegen die umgekehrten Verhältnisse vor. Es ergibt sich eine Übersetzung ins Schnelle mit einem reziproken Übersetzungsbereich zwischen 1 und 0,5. 

Anwendung finden die vorgestellten  Antriebsvarianten unter anderem bei Drei-Gang-Nabenschaltungen.

 

Übersetzungsverhältnis bei festgestelltem Hohlrad

Eine weitere Möglichkeit zur Übersetzung bietet sich bei festgestelltem Hohlrad (\(n_H=0\)), wenn der Antrieb über das Sonnenrad und der Abtrieb über den Planetenradträger erfolgt. Dabei ergibt sich folgendes Übersetzungsverhältnis \(i_H=\tfrac{n_H}{n_T}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underbrace{n_H}_{=0} \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot n_S \\[5px]
&0 = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot n_S \\[5px]
&\frac{n_S}{n_T} = i_H = \frac{z_H+z_S}{z_S} \\[5px]
\label{i_H}
&\boxed{i_H = 1+\frac{z_H}{z_S}} ~~~2<i_H<\infty \\[5px]
\end{align}

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Animation: Übersetzungsverhältnis bei feststehendem Hohlrad und Antrieb über das Sonnenrad

Im vorliegenden Fall erhält man also ebenfalls eine Übersetzung ins Langsame, dessen Übersetzungsverhältnis in jedem Fall größer 2 sein wird, da die Zähnezahl des Hohlzahnrades stets größer ist als die des Sonnenrades und deren Zähnezahlverhältnis somit größer 1 ist (\(\frac{zH}{zS}>1\)), d.h. eine Übersetzung ins Langsame vorliegt. Nach oben hin ist das Übersetzungsverhältnis hingegen nicht beschränkt, da das Sonnenrad und damit dessen Zähnezahl gegenüber dem Hohlrad prinzipiell beliebig klein gewählt werden kann und das Zähnezahlverhältnis dann gegen unendlich strebt.

Erfolgt im umgekehrten Fall der Antrieb nicht mehr über den Planetenradträger sondern über das Hohlrad, dann erhält man wieder die reziproken Übersetzungsverhältnisse mit einem Wertebereich zwischen 0 und 0,5.

 

Übersetzungsverhältnis bei festgestelltem Planetenradträger

Eine letzte Möglichkeit der Übersetzung bei klassischen Planetenradgetrieben zeigt sich bei festgestelltem Planetenradträger (Steg), wenn der Antrieb über das Sonnenrad und der Abtrieb über das Hohlrad erfolgt. In diesem Fall ergibt sich folgendes Übersetzungsverhältnis \(i_0=\tfrac{n_S}{n_H}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&n_H \cdot z_H = \underbrace{n_T}_{=0} \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot z_H = - z_S \cdot n_S \\[5px]
&\frac{n_S}{n_H} = i_0 = -\frac{z_H}{z_S} \\[5px]
\label{i_0}
&\boxed{i_0 = -\frac{z_H}{z_S}} ~~~\text{"Standübersetzung"}~~~-\infty<i_0<-1 \\[5px]
\end{align}

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Animation: Übersetzungsverhältnis bei feststehendem Planetenträger und Antrieb über das Sonnenrad

Auffällig im Übersetzungsverhältnis von Gleichung (\ref{i_0}) ist zunächst das negative Vorzeichen. Es bringt in diesem Fall zum Ausdruck, dass sich der Drehsinn zwischen Antrieb und Abtrieb ändert, d.h. eine Richtungsumkehrung stattfindet ("Rückwärtsgang"). Ein solches Getriebe mit Richtungsumkehrung zwischen An- und Abtrieb wird auch als Minusgetriebe bezeichnet; bei gleichsinniger Drehrichtung entsprechend als Plusgetriebe. Im vorliegenden Fall des Minusgetriebes handelt es sich um eine Übersetzung ins Langsame innerhalb eines Übersetzungsbereichs zwischen \(-\infty\) und -1. Im umgekehrten Fall bei vertauschtem An- und Abtrieb erhält man folglich eine Übersetzung ins Schnell im Wertebereich zwischen -1 und 0.

Beachte, dass das Planetengetriebe bei diesen Übersetzungsvarianten nicht mehr nach dem Prinzip eines klassischen Umlaufgetriebes arbeitet, da bei festgestelltem Planetenradträger keine umlaufenden Achsen der Planetenräder mehr existieren. Es handelt sich dem Funktionsprinzip nach somit um ein Standgetriebe. Aus diesem Grund wird das Übersetzungsverhältnis bei festgestelltem Planetenradträger auch als Standübersetzung bzw. Standübersetzungsverhältnis \(i_0\) bezeichnet!

 

Standübersetzung

Betrachtet man die Gleichungen (\ref{i_S}), (\ref{i_H}) und (\ref{i_0}), so lassen sich offensichtlich alls Übersetzungsvarianten mithilfe der Standübersetzung \(i_0=-\frac{z_H}{z_S}\) ausdrücken. Für ein festgebremstes Sonnenrad ergibt sich das Übersetzungsverhältnis \(i_S\) anhand der Standübersetzung dann wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{i_S = 1-\frac{1}{i_0}}  \\[5px]
\end{align}

Für ein festgestelltes Hohlrad lässt sich das entsprechende Übersetzungsverhältnis \(i_H\) wie folgt mithilfe der Standübersetzung ausdrücken:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{i_H = 1-i_0}\\[5px]
\end{align}

Auch die allgemeine Gleichung (\ref{pl}) der Planetengetriebe kann durch die Standübersetzung \(i_0\) ausgedrückt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot \frac{z_H}{z_S} = n_T \cdot \left( \frac{z_H}{z_S} + 1 \right) - n_S \\[5px]
& - n_H \cdot i_0 = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) - n_S \\[5px]
&\boxed{ n_S = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) + n_H \cdot i_0 }~~~\text{mit}~~~\boxed{i_0=-\frac{z_H}{z_S}}~~~\text{Standübersetzung} \\[5px]
\end{align}

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