Planetengetriebegleichung

Im vorherigen Kapitel wurde die Grundgleichung der Umlaufgetriebe (Willis-Gleichung) in folgender Form hergeleitet:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{g}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right) - n_S \cdot d_S} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet \(n_P\) die Drehzahl der Planetenräder und \(d_P\) deren Durchmesser. Analoges gilt für das Sonnenrad (Index \(S\)) und den Planetenradträger (auch Steg genannt; Index \(T\)).

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Abbildung: Planetenradgetriebe

Die Grundgleichung gilt im Allgemeinen für alle Umlaufgetriebe, also im Speziellen auch für Planetengetriebe. Zwar werden die Planetenräder (blau dargestellt) bei einem klassischen Planetengetriebe dabei noch von einem Hohlrad (rot abgebildet) umschlossen, dies ändert jedoch prinzipiell nichts an den hergeleiteten Zusammenhänge zwischen Sonnenrad, Planetenrad und Planetenradträger (auch Steg genannt; grün dargestellt). Es stellt sich lediglich die Frage, wie die Bewegung der Planetenräder auf das Hohlrad übertragen wird. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

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Animation: Planetenradgetriebe

Da zwischen Hohlrad und Planetenrad im Idealfall ein reines Wälzen ohne Gleitung stattfindet, muss die Relativgeschwindigkeit am Wälzpunkt beider Räder identisch sein. Kennt man folglich die Geschwindigkeit \(v_{Pa}\) mit der sich der äußerste Punkt auf einem Planetenrad bewegt, dann entspricht dies der gesuchten Bahngeschwindigkeit \(v_H\) des Hohlrades. Über den entsprechenden Wälzkreisradius \(r\) (bzw. Wälzkreisdurchmesser \(d\)) des Hohlrades kann dann auf dessen Drehzahl \(n\) geschlossen werden, da zwischen diesen Größen der folgende allgemeine Zusammenhang gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\
\label{o}
&v = \omega \cdot r = \omega \cdot \tfrac{d}{2} ~~~ \text{mit} ~~~ \omega = 2 \pi \cdot n ~~~\text{folgt}: \\[5px]
\label{v}
&\underline{v = \pi \cdot n \cdot d} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Geschwindigkeitsverhältnisse an den Berührpunkten des Planetenrades

Analoges gilt auch für die Geschwindigkeitsverhältnisse am Berührpunkt zwischen Planetenrad und Sonnenrad. An diesem innersten Punkt muss die Geschwindigkeit des Planetenrades \(v_{Pi}\) für einen gleitfreien Abwälzvorgang identisch mit der Geschwindigkeit des Sonnenrades \(v_S\) sein. Der Schwerpunkt des Planetenrades bewegt sich dabei mit der Bahngeschwindigkeit \(v_T\) des Planetenradträgers. Zwischen diesen Geschwindigkeiten besteht ein lineares Verhältnis (siehe schwarz gestrichelte Linie in der oberen Abbildung), sodass bei bekannter Bahngeschwindigkeit des Sonnenrades \(v_S\) und bekannter Umfangsgeschwindigkeit des Planetenradträgers \(v_T\) die Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrades \(v_H\) ermittelt werden kann.

Wie es zu dieser einfachen, linearen Abhängigkeit zwischen den genannten Bahngeschwindigkeiten kommt, soll im Folgenden gezeigt werden. Der einfacheren Darstellung wegen werden die Zahnräder dabei als Wälzzylinder angenommen.

Die Bewegung eines Punktes auf dem Planetenrad lässt als Überlagerung zweier Bewegungen verstehen. Zum einen rotiert das Planetenrad zunächst um seine eigene Achse. In diesem Fall erhält man die typisch symmetrische und lineare Zunahme der Bahngeschwindigkeit gemäß Gleichung (\ref{o}) ausgehend des Drehzentrums (Planetenradachse). Die maximalen Geschwindigkeitsbeträge \(v_P\) erhält man unmittelbar am Wälzkreis des Planetenrades.

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Abbildung: Geschwindigkeitsverhältnisse bei rotierendem Planetenrad

Im Drehzentrum ist die Bahngeschwindigkeit null, solange sich die Planetenradachse nicht bewegt. Nun bewegt sich die Drehachse jedoch mit der Bahngeschwindigkeit des Planetenradträgers \(v_T\), d.h. beide Bewegungen können nun zur tatsächlichen Gesamtbewegung überlagert werden [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung].

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Abbildung: Geschwindigkeitsverhältnisse bei rotierendem Planetenradträger

Die Rotationsgeschwindigkeit des Planetenrades ist im oberen Berührpunkt zum Hohlrad mit der Geschwindigkeit des Planetenradträgers gleichgerichtet und am unteren Berührpunkt zum Sonnenrad entgegengesetzt gerichtet. Aufgrund der symmetrischen Geschwindigkeitsverteilung ist die resultierende Gesamtgeschwindigkeit des Planetenrades im äuersten Berührpunkt zum Hohlrad also im selben Maße größer (\(v_{Pa}=v_T+v_P\)) wie sie im innersten Berührpunkt zum Sonnenrad geringer ist \((v_{Pi}=v_T-v_P\)) [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung].

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Abbildung: Überlagerung der Bewegungen von Planetenrad und Planetenradträger 

In anderen Worten ausgedrückt: Die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Planetenrad nimmt ausgehend des Berührpunktes zum Sonnenrad linear über die Geschwindigkeit des Planetenradträgers bis hin zum Berührpunkt zum Hohlrad zu. Da die Geschwindigkeit des Planetenradträgers \(v_T\) als bekannt vorausgesetzt wird, muss lediglich die Geschwindigkeit des Planetenrades am Berührpunkt zum Sonnenrad \(v_S\) bekannt sein, um die gesuchte Bahngeschwindigkeit am gegenüberliegenden Berührpunkt zum Hohlrad \(v_H\) bestimmen zu können.

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Abbildung: Resultierende Geschwindigkeitsverteilung am Planetenrad

Wie bereits erläutert, muss für einen gleitfreien Abwälzvorgang ohne Relativbewegung die Geschwindigkeit des Planetenrades am Berührpunkt zum Hohlrad (\(v_{Pa}=v_T+v_P\)) gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrades \(v_H\) sein:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&v_H\overset{!}{=}v_{Pa} \\[5px]
\label{v_H}
&\underline{v_H=v_T+v_P} \\[5px]
\end{align}

Analoges gilt auch für den Berührpunkt zwischen Planetenrad und Sonnenrad. Dort muss die Geschwindigkeit des Planetenrades (\(v_{Pi}=v_T-v_P\)) gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Sonnenrades \(v_S\) sein, sofern es sich um einen gleitfreien Abwälzvorgang handelt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&v_S\overset{!}{=}v_{Pi} \\[5px]
\label{v_S}
&\underline{v_S=v_T-v_P} \\[5px]
\end{align}

Subtrahiert man nun Gleichung (\ref{v_S}) von Gleichung (\ref{v_H}), dann ergibt sich letztlich folgender Zusammenhang zwischen den Umfangsgeschwindigkeiten des Sonnenrades \(v_S\), des Planetenrades \(v_P\) und des Hohlrades \(v_H\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&v_H - v_S = v_T+v_P-v_T+v_P \\[5px]
&v_H = 2 \cdot v_P + v_S \\[5px]
\label{vvv}
&\underline{ v_P = \frac{v_H}{2} - \frac{v_S}{2} } \\[5px]
\end{align}

Wird der Zusammenhang aus Gleichung (\ref{v}) in Gleichung (\ref{vvv}) eingesetzt, dann erhält man den Zusammenhang zwischen den entsprechenden Drehzahlen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&v_P = \frac{v_H}{2} - \frac{v_S}{2} \\[5px]
&\pi \cdot n_P \cdot d_P = \frac{\pi \cdot n_H \cdot d_H}{2} - \frac{\pi \cdot n_S \cdot d_S}{2} \\[5px]
\label{nn}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_H \cdot \frac{d_H}{2} - n_S \cdot \frac{d_S}{2}} \\[5px]
\end{align}

Der sich aus Gleichung (\ref{nn}) ergebende Zusammenhang kann nun direkt mit der Grundgleichung (\ref{g}) gleichgesetzt werden und man erhält schließlich den folgenden Zusammenhang zwischen den Drehzahlen von Sonnenrad (\(S\)), Planetenradträger (\(T\)) und Hohlrad (\(H\)):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&n_H \cdot \frac{d_H}{2} - n_S \cdot \frac{d_S}{2} = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  - n_S \cdot d_S \\[5px]
&n_H \cdot d_H - n_S \cdot d_S  = 2 \cdot n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  - 2 \cdot n_S \cdot d_S \\[5px]
\label{f}
&\underline{n_H \cdot d_H  = 2 \cdot n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  - d_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Zusätzlich kann noch ausgenutzt werden, dass die Durchmesser von Hohlrad, Planetenrad und und Sonnenrad nicht unabhängig voneinander sind. Der Hohlraddurchmesser \(d_H\) entspricht der Summe aus Sonnenraddurchmesser \(d_S\) und dem zweifachen Planetenraddurchmesser \(d_P\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&d_H = d_S + 2 \cdot d_P \\[5px]
&\underline{d_P = \frac{d_H-d_S}{2}} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Zusammenhang  zwischen den Wälzkreisdurchmesser

Damit ergibt sich die Planetenradgleichung für klassische einstufige Planetengetriebe unabhängig von den Eigenschaften der Planetenräder zu:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&n_H \cdot d_H = 2 \cdot n_T \cdot \left(\frac{d_H-d_S}{2} + d_S \right) - d_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot d_H =n_T \cdot \left(d_H - d_S + 2 \cdot d_S \right) - d_S \cdot n_S \\[5px]
&\underline{n_H \cdot d_H = n_T \cdot \left(d_H + d_S \right) - d_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Da bei Zahnrädern die Wälzkreisdurchmesser \(d\) proportional zu den entsprechenden Zähnezahlen \(z\) sind, kann obige Gleichung auch über die Anzahl der Zähne des Hohlrades (\(z_H\)) und die des Sonnenrades (\(z_S\)) ausgedrückt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{pl}
&\boxed{n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) - z_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Bei einem klassischen Planetenradgetriebe ergeben sich letztlich drei verschiedene Betriebsmodi, je nachdem welche Komponente (Sonnenrad, Planetenradträger oder Hohlrad) festgestellt wird. Der An- und Abtrieb erfolgt dann über die beiden anderen Komponenten. Welche Übersetzungsverhältnisse sich dabei jeweils ergeben, wird im nächsten Abschnitt gezeigt.

 

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