Drehmomentwandlung

Im vorherigen Abschnitt wurde die Wandlung der Drehzahlen zweier Zahnräder anhand des Übersetzungsverhältnisses beschrieben. Darüberhinaus wurde im Grundlagenkapitel der Zusammenhang zwischen Drehzahl und Drehmoment erläutert. Dort konnte gezeigt werden, dass eine Änderung der Drehzahl unweigerlich mit einer Änderung des Drehmomentes einhergeht. Die Wandlung des Drehmomentes innerhalb einer Zahnradpaarung wird deutlich, wenn man sich die dort herrschenden Kräfteverhältnisse genauer anschaut. Es soll im Folgenden davon ausgegangen werden, dass das treibende Zahnrad das Drehmoment \(M_t\) aufweist, mit dem es das nachfolgend getriebene Zahnrad antreibt.

Drehmoment, Zahnrad-Getriebe, Herleitung, Übersetzungsverhältnis, Wälzkreisdurchmesser, Teilkreisdurchmesser

Abbildung: Kräfteverhältnisse einer Zahnradpaarung

Je nach Durchmesser dt des treibenden Zahnrades ist mit dem Drehmoment \(M_t\) eine bestimmte Kraft \(F\) verbunden, mit denen die reibenden Zahnflanken nun auf die Zahnflanken des nachfolgend getriebenen Zahnrades drücken. Dieser gedachte Durchmesser auf dem sich die Zahnräder abwälzen wird deshalb auch Wälzkreisdurchmesser d genannt oder etwas unpräziser als Teilkreisdurchmesser bezeichnet. Die Kraft \(F\) ermittelt sich anhand der Definition des Drehmomentes aus "Kraft x Hebelarm". Somit kann bei gegebenem Drehmoment mithilfe des Teilkreisdurchmessers die entsprechende Kraft an den Zahnflanken bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&M_t = F \cdot r_t = F \cdot \frac{d_t}{2} \\[5px]
\label{M_t}
&\underline{F = 2 \cdot \frac{M_t}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Es wurde vereinfachend angenommen, dass die Kraft tangential zum Teilkreisdurchmesser angreift, sodass Kraft und Hebelarm (= halber Teilkreisdurchmesser) senkrecht zueinander stehen. Nähere Informationen zur tatsächlichen Kraftrichtung bei Evolventenzahnräder finden sich im entsprechenden Kapitel wieder.

Die anhand des Drehmomentes und des Teilkreisdurchmessers ermittelte Kraft \(F\) des treibenden Zahnrades wirkt schließlich auf das getriebene Zahnrad. Da das getriebene Zahnrad jedoch einen anderen Teilkreisdurchmesser besitzt, wirkt die Kraft nun auf einen geänderten Hebelarm (\(\frac{d_g}{2}\)). Damit ist folglich auch eine Änderung des Drehmomentes verbunden (siehe Abbildung oben)!

\begin{align}\;\;\;\;\;
&M_g = F \cdot r_g = F \cdot \frac{d_g}{2} ~~~\text{mit Gleichung (2)}~~~F = 2 \cdot \frac{M_t}{d_t} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&M_g = \underbrace{2 \cdot \frac{M_t}{d_t}}_{= F} \cdot \frac{d_g}{2} \\[5px]
\label{M_1}
&\underline{M_g = M_t \cdot \frac{d_g}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Auch bei Zugmittelgetriebe erfolgt die Änderung des Drehmomentes auf analoge Weise. Dabei zieht das treibende Rad durch das vorhandene Drehmoment \(M_t\) je nach Durchmesser \(d_t\) mit einer nach Gleichung (\ref{M_t}) wirkenden Kraft \(F\) (auch Nutzkraft genannt) am Zugmittel. Dieselbe Nutzkraft \(F\) wirkt über das Zugmittel auch am getriebenen Rad und verursacht aufgrund des größeren Durchmessers \(d_g\) nun ein größeres Drehmoment \(M_g\) [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Das Drehmoment \(M_g\) am getriebenen Rad ergibt sich wiederum nach Gleichung (\ref{M_1}). Auf die genaueren Kräfteverhältnisse bei Riementrieben wird in einem gesonderten Abschnitt näher eingegangen.

Drehmoment, Zugmittel-Getriebe, Herleitung, Übersetzungsverhältnis

Abbildung: Kräfteverhältnisse beim Zugmittelgetriebe

Die Drehmomentenänderung wird im Folgenden wieder ausschließlich anhand von Zahnrädern näher erläutert, obgleich die besagten Zusammenhänge auch auf Zugmittelgetriebe übertragen werden können.

Es zeigt sich nach Gleichung (\ref{M_1}), dass das Drehmoment \(M_g\) am getriebenen Zahnrad proportional zum Verhältnis der jeweiligen Teilkreisdurchmesser \(\frac{d_g}{d_t}\) ist. Je größer also das getriebene Zahnrad im Verhältnis zum treibenden Zahnrad ist, desto größer wird die Drehmomentsteigerung sein. Dabei ist zu beachten, dass der Teilkreisdurchmesser direkt proportional zur Anzahl der Zähne ist. Besitzt das getriebene Zahnrad bspw. die doppelte Zähneanzahl, so geht durch den damit verbundenen doppelten Hebelarm letztlich auch eine Verdopplung des Drehmomentes einher. Insofern kann die Drehmomentsteigerung auch über das Verhältnis der Zähnezahlen ausgedrückt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{M_2}
&\underline{M_g = M_t \cdot \frac{z_g}{z_t}} \\[5px]
\end{align}

Das Verhältnis der Teilkreisdurchmesser in Gleichung (\ref{M_1}) bzw. Verhältnis der Zähnezahlen in Gleichung (\ref{M_2}) entspricht gerade dem Übersetzungsverhältnis \(i\). Somit kann die Drehmomentänderung auch direkt durch das Übersetzungsverhältnis ausgedrückt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{M_g = M_t \cdot i }~~~\text{mit}~~~\underline{i = \frac{z_g}{z_t}= \frac{d_g}{d_t}=\frac{n_t}{n_g}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass das Übersetzungsverhältnis als Verhältnis der Drehzahlen von treibendem (\(n_t\)) zu getriebenem (\(n_g\)) Zahnrad definiert ist (\(i=\frac{n_t}{n_g}\)). Somit gilt für die Drehzahl \(n_g\) des getriebenen Zahnrades bei einem bestimmten Übersetzungsverhältnis \(i\) der folgende Zusammenhang zur ursprünglichen Drehzahl \(n_t\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2}
&\boxed{n_g = \frac{n_t}{i} } \\[5px]
\end{align}

Im selben Maße wie sich also das Drehmoment nach Gleichung (\ref{1}) bei einem bestimmten Übersetzungsverhältnis erhöht, erniedrigt sich die Drehzahl nach Gleichung (\ref{2}) und umgekehrt. Dies ist letztlich eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes. So ergibt sich die mechanische Leistung \(P\) einer rotierenden Welle in Abhängigkeit des Drehmomentes \(M\) und der Drehzahl \(n\) wie folgt (siehe Abschnitt Leistung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&P = 2 \pi \cdot M \cdot n \\[5px]
\end{align}

Wird von Verlusten abgesehen, so muss aufgrund des Energieerhaltungssatzes die zugeführte mechanische Leistung an der treibenden Welle genauso groß sein wie an der getriebenen Welle. Schließlich wird die innerhalb einer bestimmten Zeit erbrachte Arbeit im Idealfall vollständig von der treibenden Welle auf die getriebene Welle übertragen. Wird also die mechanische Leistung der treibenden Welle \(P_t\) und der getriebenen Welle \(P_g\) gleichgesetzt, so führt dies direkt auf den umgekehrten Zusammenhang zwischen Drehzahl- und Drehmomentverhältnis:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&P_t = P_g \\[5px]
&2 \pi \cdot M_t \cdot n_t = 2 \pi \cdot M_g \cdot n_g \\[5px]
&\boxed{\frac{M_t}{M_g} = \frac{n_g}{n_t}} \\[5px]
\end{align}

Diese Seite verwendet Cookies. Mit Verwendung dieser Seite erklären Sie sich hiermit ausdrücklich einverstanden. Für mehr Informationen sowie die Möglichkeit zur Deaktivierung klicken Sie auf "Datenschutzerklärung".
Datenschutzerklärung Einverstanden