Getriebestufen

Im Allgemeinen bestehen Getriebe nicht aus einem Zahnradpaar sondern aus mehreren Räderpaaren. Man spricht dann jeweils von Getriebestufen. Dabei bezeichnet man als Getriebestufe die Radpaarung zwischen einem treibenden Rad und einem getriebenen Rad, an der sich die Drehzahl bzw. das Drehmoment ändert. Das unten abgebildete Getriebe besteht aus insgesamt drei Getriebestufen, wobei sich jeder Getriebestufe ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis zuordnen lässt.

Getriebestufen, Zahnrad-getriebe

Abbildung: Getriebestufen eines Zahnradgetriebes

Die erste Getriebestufe bildet das grüne Zahnrad (\(z_1\) = 15) und das orangefarbene Zahnrad (\(z_2\) = 30). Die zweite Getriebestufe ergibt sich aus der Zahnradpaarung des orangefarbenen Zahnrades (\(z_2\)) und des blauen Zahnrades (\(z_3\) = 90). Das grüne Zahnrad (\(z_4\) = 15) und das rote Zahnrad (\(z_5\) = 60) bilden schließlich die dritte Getriebestufe. Für die entsprechenden Getriebestufen ergibt sich hieraus folgende Übersetzungsverhältnisse \(i\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\text{1. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_1} = \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{30}{15} = \underline{2} \\[5px]
\label{2}
&\text{2. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_2} = \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_3}{z_2} = \frac{90}{30} = \underline{3} \\[5px]
\label{3}
&\text{3. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_3} = \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_5}{z_4} = \frac{60}{15} = \underline{4} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass es sich bei dem Zahnradpaar 3 und 4 nicht um eine Getriebestufe handelt, da sich die Zahnräder auf einer gemeinsamen Welle befinden. Die Drehzahl der beiden Zahnräder ist folglich identisch und somit findet weder eine Änderung der Drehzahl noch eine Änderung des Drehmomentes statt. Somit handelt es sich bei diesen Zahnrädern auch nicht um ein(e) Getriebe(stufe).

Das Übersetzungsverhältnis \(i_{ges}\) des gesamten Getriebes ermittelt sich dann über die Multiplikation der einzelnen Übersetzungsverhältnisse der jeweiligen Getriebestufen.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4}
&\boxed{i_{ges} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \cdot \dots} \\[5px]
&\underline{i_{ges}} = 2 \cdot 3 \cdot 4  = \underline{24}\\[5px]
\end{align}

Das Gesamtübersetzungsverhältnis beträgt im vorliegenden Fall schließlich \(i_{ges}\)= 24. Folglich steigert das gesamte Getriebe das Drehmoment der Antriebswelle um das 24-fache auf der Abtriebswelle. Die Drehzahl nimmt dementsprechend um den Faktor 24 ab.

Ein solch großes Übersetzungsverhältnis von 24 könnte natürlich auch mit nur einer Getriebestufe erreicht werden. Hierzu müsste allerdings das Zahnrad an der Abtriebswelle um das 24-fache so groß sein wie jenes an der Antriebswelle. Dementsprechend groß wären auch die Dimensionen des Getriebes. Die untere Abbildung zeigt im Vergleich zum vorgestellten 3-stufigen Getriebe die maßstabsgetreue Abmessung eines einstufigen Getriebes, das dasselbe Gesamtübersetzungsverhältnis aufweist. 

  • Mehrstufige Getriebe bieten den Vorteil das gewünschte Übersetzungsverhältnis auf mehrere kleinere Zahnräder aufzuteilen und so die Abmessungen des Getriebes insgesamt klein zu halten.

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Interaktive Abbildung: einstufiges/mehrstufiges Getriebe

Da das Übersetzungsverhältnis einer Getriebestufe vom Verhältnis der beteiligten Zähnezahlen abhängig ist, bedingt eine Änderung der Zähnezahl an einem der Zahnräder im Allgemeinen auch ein geändertes Gesamtübersetzungsverhältnis. Wird bspw. das Zahnrad 5 (\(z_5\) = 60 Zähne) durch ein doppelt so großes Zahnrad mit einer entsprechend doppelten Zähneanzahl ersetzt (\(z_5'\)= 120 Zähne), so ergibt sich in dieser Getriebestufe nun auch ein doppelt so großes Übersetzungsverhältnis von \(i_3'\)= 8. Mit dieser Verdoppelung wird auch das Gesamtübersetzungsverhältnis auf \(i_{ges}'\)= 48 verdoppelt. Beachte also, dass durch die Multiplikation der einzelnen Übersetzungsverhältnisse letztlich jede Getriebestufe direkt linear in das Gesamtübersetzungsverhältnis nach Gleichung (\ref{4}) eingeht. Die Verdopplung oder Verdreifachung einer einzelnen Getriebestufe bedeutet somit auch eine Verdopplung bzw. Verdreifachung des Gesamtübersetzungsverhältnisses. 

Im Falle des Zahnrades 2 wirkt sich eine Änderung der Zähnezahl allerdings nicht auf das Gesamtübersetzungsverhältnis aus! Dies wird sofort ersichtlich, wenn man sich die Formel zur Ermittlung des Gesamtübersetzungsverhältnisses einmal genauer anschaut. Hierzu werden die Formeln (\ref{1}) bis (\ref{3}) direkt in die Formel (\ref{4}) eingesetzt. Es zeigt sich dann, dass sich die Zähnezahl \(z_2\) herauskürzt und somit das Gesamtübersetzungsverhältnis offensichtlich nicht hiervon abhängig ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{i_{ges}} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 = \frac{z_2}{z_1} \cdot \frac{z_3}{z_2} \cdot \frac{z_5}{z_4} = \underline{\frac{z_3 \cdot z_5}{z_1 \cdot z_4}}   \\[5px]
\end{align}

Wenn aber das Gesamtübersetzungsverhältnis nicht von diesem Zahnrad abhängig ist, welche Funktion erfüllt dies dann? Tatsächlich kann auf dieses Zahnrad 2 zunächst komplett verzichtet werden und damit das Zahnrad 1 direkt an das Zahnrad 3 gekoppelt werden, ohne dass sich dabei etwas am Gesamtübersetzungsverhältnis von 24 ändert [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]! Eine Nachrechnung des nunmehr 2-stufigen-Getriebes liefert den Beweis:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{1. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_1} &= \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_3}{z_1} = \frac{90}{15} = \underline{6} \\[5px]
\text{2. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_2} &= \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_5}{z_4} = \frac{60}{15} = \underline{4} \\[5px]
\text{Gesamtübersetzungsverhältnis:}~~~ \underline{i_{ges}} &= i_1 \cdot i_2 = 6 \cdot 4  = \underline{24} \\[5px]
\end{align}

Zahnrad-Getriebe, Getriebe-Stufen, Übersetzungsverhältnis

Interaktive Abbildung: Änderung des Drehsinns der Abtriebswelle ohne Änderung des Übersetzungsverhältnisses

Dass das Gesamtübersetzungsverhältnis unabhängig der Zähnezahl \(z_2\) ist, kann auch anschaulich erklärt werden. Schiebt sich nämlich das Zahnrad 1 der Antriebswelle um einen Zahn weiter, so wird auch das Zahnrad 2 um einen Zahn weiterbewegt. Dieses Weiterbeweggen um einen Zahn wird nun vom Zahnrad 2 auf das Zahnrad 3 übertragen. Insofern dient das Zahnrad 2 lediglich als "Übermittler" des Weiterschiebens. Somit kann eben auch das Zahnrad 1 direkt das Zahnrad 3 um einen Zahn weiterbewegen, ohne an dem prinzipiellen Vorgang etwas zu ändern. 

Je nach Funktion des Getriebes ist jedoch das Zahnrad 2 keineswegs überflüssig. Denn ohne dieses rotiert die Abtriebswelle entgegen ihrem ursprünglichem Drehsinn [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]! Das Zahnrad 2 hat also die Funktion den Drehsinn des Abtriebsrades entsprechend anzupassen (Drehrichtungsumkehrung). Um diese Aufgabe zu erfüllen könnte das Zahnrad 2 prinzipiell auch zwischen Zahnrad 4 und 5 geschaltet werden.

Unter welchen Umständen hat nun die Zähnezahl eines Zahnrades Einfluss auf das Gesamtübersetzungsverhältniss und wann nicht? Die untere Abbildung zeigt hierzu Zahnräder die sich jeweils auf getrennten Wellen befinden. In einem solchen Fall ist das Gesamtübersetzungsverhältnis nur von der Zähnezahl des ersten (\(z_1\)) und des letzten Zahnrades (\(z_6\)) abhängig. Um Zahnradgetriebe also effektiv gestalten zu können, müssen stets zwei unterschiedliche Zahnräder auf einer gemeinsamen Welle angeordnet werden, die ihrerseits wieder eine Welle mit Zahnradpaar antreibt [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. In diesem Fall gehen dann die gesamten Zähnezahlen aller Zahnräder in die Berechnung des Gesamtübersetzungsverhältnisses ein!

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Interaktive Abbildung: Zahnräder auf getrennten Wellen

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