Drehzahlwandlung

Bei Betrachtung der unteren Animation des Zahnradgetriebes fällt zunächst auf, dass die Drehzahl von Zahnrad zu Zahnrad geringer wird. Dies lässt sich anhand der unterschiedlichen Zähnezahlen zwischen den jeweiligen Zahnradpaaren anschaulich nachvollziehen. So besitzt bspw. das erste treibende Zahnrad (grün) auf der Antriebswelle insgesamt 15 Zähne. Diese 15 Zähne rotieren bei einer Umdrehung des Zahnrades folglich einmal komplett durch. Dabei schieben sie das nachfolgende getriebene Zahnrad (orangefarben) um ebenfalls um 15 Zähne weiter.

Animation, Zahnrad-Getriebe, Übersetzung, Übersetzungsverhältnis, Zahnräder, Getriebestufe

Animation: Änderung der Drehzahl bei einem Zahnradgetriebe

An diesem getriebenen Zahnrad befinden sich aufgrund des größeren Durchmessers allerdings mehr Zähne. Es wird folglich nicht mehr um eine ganze Drehung weiterbewegt. Im vorliegenden Fall befinden sich am getriebenen Zahnrad insgesamt 30 Zähne, d.h. während einer Umdrehung des treibenden Zahnrades wird das getriebene Zahnrad nur um eine halbe Umdrehung weitergeschoben. Insgesamt bedeutet dies eine Halbierung der Drehzahl.

Beachte, dass auch die einzelnen Zähne der größeren Zahnräder dieselben Abmessungen haben wie die Zähne der kleineren Zahnräder, da die jeweiligen Zähne gegenseitig ineinandergreifen müssen. Ein solches Ineinandergreifen von Zahnräder wird auch als Kämmen bezeichnet.

Die Änderung der Drehzahl von einem treibenden zu einem getriebenen Zahnrad wird durch das sogenannte Übersetzungsverhältnis \(i\) beschrieben. Es ist wie folgt definiert:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{def_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{n_t}{n_g}} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet \(n_t\) die Drehzahl des treibenden Rades und \(n_g\) die Drehzahl des getrieben Rades. Im oben beschriebenen Fall beträgt das Übersetzungsverhältnis \(i\) = 2. Dies bedeutet also anschaulich, das das treibende Rad doppelt so schnell rotiert wie das getriebene Rad bzw. sich das getriebene Rad nur noch halb so schnell bewegt wie das treibende Rad. Häufig werden Übersetzungsverhältnisse auch in der Form 2:1 angegeben (gesprochen: " Zwei zu Eins").

Wie oben bereits ausgeführt, ermittelt sich das Übersetzungsverhältnis zweier in Kontakt stehender Zahnräder über das (umgekehrte) Verhältnis der Zähnezahlen \(z\) bzw. der entsprechenden Wälzkreisdurchmesser. Als Wälzkreisdurchmesser bezeichnet man dabei die Durchmesser von gedachten Zylinder die ohne Gleiten aufeinander abwälzen [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Folglich sind die Umfangsgeschwindigkeiten auf dem Teilkreis beider Zahnräder identisch. Häufig wird der Wälzkreisdurchmesser auch etwas unpräzise als Teilkreisdurchmesser bezeichnet.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{zaehne_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{z_g}{z_t} = \frac{d_g}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Übersetzung, Übersetzungsverhältnis, Zahnrad-Getriebe, Wälzkreisdurchmesser, Teilkreisdurchmesser

Interaktive Abbildung: Wälzkreisdurchmesser von Zahnräder

Bei einem Reibrad- oder Zugmittelgetriebe bestimmt sich das Übersetzungsverhältnis über das (umgekehrte) Verhältnis der jeweiligen Raddurchmesser \(d\). Denn ist bspw. das angetriebene Rad doppelt so groß wie das treibende Rad, so gilt dies zunächst auch für die entsprechenden Radumfänge. Während das treibende Rad folglich eine Umdrehung absolviert, dreht sich das doppelt so große Zahnrad nur um eine halbe Umdrehung (entweder durch gegenseitiges Abrollen bei Reibrädern oder über das Zugmittel bei Zugmittelgetriebe). Die Drehzahl halbiert sich folglich und es liegt wiederum ein Übersetzungsverhältnis von \(i\) = 2 vor.

Animation, Zugmittel-Getriebe, Übersetzung, Funktion, Aufbau, Riemen, Ketten, Getriebestufe

Animation: Änderung der Drehzahl bei einem Zugmittelgetriebe

Übersetzung, Übersetzungsverhältnis, Zugmittel-Getriebe, Riemen, Kette

Interaktive Abbildung: Raddurchmesser bei Zugmittelgetriebe

Getriebe müssen nicht immer darauf ausgelegt sein die Drehzahl zu verringern wie dies in den oberen Animationen der Fall ist. In vielen technischen Anwendungsfällen ist auch eine Erhöhung der Drehzahl erwünscht. Dies trifft zum Beispiel bei Autofahrten auf Autobahnen zu. Um möglichst schnell voranzukommen müssen die Räder so schnell wie möglich drehen. Hierzu ist es notwendig die Drehzahl der Motorwelle durch ein Getriebe zu erhöhen. In diesem Fall muss dann ein großes Getrieberad ein kleineres Rad antreiben.

In solchen Fällen sind die Übersetzungsverhältnisse kleiner Eins und man spricht von einer Übersetzung ins Schnelle. Bei Übersetzungsverhältnisse größer Eins rotiert das getriebene Rad grundsätzlich langsamer als das treibende Rad und man spricht von einer Übersetzung ins Langsame. Umgangssprachlich wird die Übersetzung ins Langsame auch als Untersetzung bezeichnet.

Beim Anfahren mit einem Auto im ersten Gang liegt bspw. eine Übersetzung ins Langsame mit einem maximalen Übersetzungsverhältnis von rund \(i_{max}\) = 3,6 vor. Die Drehzahl wird dementsprechend um den Faktor 3,6 im Vergleich zur Motordrehzahl herabgeregelt. Im höchsten Gang weist das schaltbare Motorgetriebe hingegen eine Übersetzung ins Schnelle mit einem minimalen Übersetzungsverhältnis von ca. \(i_{min}\) = 0,8 auf. Die Drehzahl wird folglich um das 1,25-fache (=\(\frac{1}{0,8}\)) gesteigert.

Anmerkung: Getriebe die ihr Übersetzungsverhältnis ändern können werden auch als schaltbare Getriebe bzw. Schaltgetriebe oder kurz als Schaltungen bezeichnet. Ein wichtiges Merkmal von Schaltgetrieben ist die Steigerung des minimalen Übersetzungsverhältnisses hin zum maximalen Übersetzungsverhältnis. Umso größer diese Steigerung ist, desto größere Drehzahlbereiche können geschaltet werden. Diese Steigerung wird auch als Spreizung \(S\) bezeichnet und ermittelt sich wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{spreizung}
&\boxed{S = \frac{i_{max}}{i_{min}}} = \frac{3,6}{0,8}=4,5 \\[5px]
\end{align}

Für das beschriebene Schaltgetriebe beträgt die Spreizung \(S\) = 4,5. Dies bedeutet anschaulich, dass das Übersetzungsverhältnis ausgehend des minimalen Wertes durch die Schaltung um den Faktor 4,5 gesteigert werden kann.

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