Biegespannungen

Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Zustandekommen des linearen Spannungsverlauf bei einer Biegebeanspruchung erläutert. In diesem Abschnitt steht dessen mathematische Beschreibung im Vordergrund, insbesondere die Bestimmung der maximalen Randspannungen \(\sigma_b\) (Biegespannungen) bei gegebenem Biegemoment \(M_b\).

Biegung, Spannungsverlauf, Druckspannung, Zugspannung, Drehmoment, Biegemoment, Neutrale Faser, BiegespannungAbbildung: Spannungsverteilung einer Biegebeanspruchung

Grundsätzlich verursachen die gesamten Zug- und Druckspannungen im Werkstoffinneren ihrerseits ein inneres Drehmoment, welches mit dem äußeren Drehmoment (Biegemoment \(M_b\)) im Gleichgewicht steht. Aus dieser Gleichgewichtsbetrachtung heraus kann - unter Voraussetzung des linearen Spannungsverlaufs - über die Probenquerschnittsgeometrie ein Zusammenhang zwischen dem wirkenden Biegemoment \(M_b\) und der im Abstand \(z\) zur neutralen Faser resultierenden Spannung \(\sigma\) hergestellt werden. Die Geometrie wird dabei über das sogenannte Flächenträgheitsmoment \(I\) erfasst (auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet).

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{biegegleichung}
&\boxed{\sigma = \frac{M_b}{I} \cdot z}  ~~~~~[\sigma]=\frac{\text{N}}{\text{mm²}} ~~~~~\text{nur gültig im linear-elastischen Bereich} \\[5px]
\end{align}

Das Flächenträgheitsmoment bestimmt sich für einen kreisförmigen Querschnitt lediglich anhand dessen Durchmessers d:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{flaechentraegheitsmoment}
&\underline{I = \frac{\pi \cdot d^4}{64}}  ~~~~~[I]=\text{mm}^4 ~~~~~\text{Flächenträgheitsmoment für kreisförmige Querschnitte} \\[5px]
\end{align}

Achtung: Gleichung (\ref{biegegleichung}) gilt grundsätzlich nur, wenn die hervorgerufenen Dehnungen im elastischen Bereich proportional zu den induzierten Spannungen sind und sich somit ein linearer Spannungsverlauf im Querschnitt ergibt (linear-elastischer Bereich). Insbesondere bedeutet dies, dass die Gültigkeit des Hooke'schen Gesetzes vorausgesetzt wird. Inwieweit diese Annahme immer gerechtfertigt ist, wird zur gegebenen Zeit diskutiert.

Die in den Randfasern auftretenden Biegespannungen \(\sigma_b\) können mit der Biegegleichung (\ref{biegegleichung}) nun ermittelt werden, indem für den Abstand \(z\) der Randfaserabstand \(\tfrac{d}{2}\) zugrunde gelegt wird. Der sich lediglich aus der Geometrie des Bauteils ergebende Quotient aus Flächenträgheitsmoment \(I\) und Randfaserabstand \(\tfrac{d}{2}\) wird dabei zum sogenannten axialen Widerstandsmoment \(W_a\) zusammengefasst, welcher folglich ebenfalls ein reiner Geometriekennwert darstellt.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{\sigma_b} = \frac{M_b}{I}\cdot \frac{d}{2} = \frac{M_b}{\tfrac{2\cdot I}{d}} = \underline{\frac{M_b}{W_a}} ~~~~~ \text{mit} ~~~~~ \underline{W_a = \frac{2\cdot I}{d}}   \\[5px]
\end{align}

Für einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Durchmesser \(d\) gilt für das axiale Widerstandsmoment \(W_a\) folglich:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{axiales_widerstandsmoment}
&\underline{W_a = \frac{\pi \cdot d^3}{32}} ~~~~~[W_a]=\text{mm}^3 ~~~~~\text{axiales Widerstandsmoment für kreisförmige Querschnitte} \\[5px]
\end{align}

Für nicht-kreisförmige Querschnitte sind die entsprechenden Flächenträgheitsmomente bzw. die axialen Widerstandsmomente Tabellenbüchern zu entnehmen. Somit kann nun mit Hilfe der nachfolgend angegebenen Gleichung ganz allgemein über das axiale Widerstandsmoment \(W_a\) der Querschnittsfläche die (maximale) Biegespannung \(\sigma_b\) in Abhängigkeit des aufgebrachten Biegemomentes \(M_b\) ermittelt werden.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{biegespannung}
&\boxed{\sigma_b = \frac{M_b}{W_a}}  ~~~~~[\sigma]=\frac{\text{N}}{\text{mm²}} ~~~~~\text{Biegegleichung, nur gültig im linear-elastischen Bereich} \\[5px]
\end{align}

Mit der mathematischen Bestimmung der Biegespannungen können nun im Biegeversuch Grenzwerte festgelegt werden, die nicht überschritten werden dürfen.