Spannungsverläufe im plastischen Bereich

Wie im Kapitel Versuchsaufbau ausführlich erläutert und im Kapitel Biegespannung mathematisch beschrieben, besitzt die Spannungsverteilung im Querschnitt einer rein elastisch auf Biegung beanspruchten Probe einen linearen Verlauf, sofern für die entsprechenden Werkstoffe das Hooke'sche Gesetz gilt. Dies ändert sich jedoch bei Überschreiten der Elastizitätsgrenze (Biegefließgrenze). Für Werkstoffe ohne Verfestigungseffekte steigt dabei die Spannung in den Randfasern bei Überschreiten der Fließgrenze nicht weiter an. Bei nochmaliger Steigerung des Biegemomentes werden die weiter innenliegenden Bereiche auch nur bis maximal an die Fließgrenze beansprucht [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung].

Biegeversuch, Biegespannung, ideal plastische Verformung, ohne Verfestigung

Abbildung: plastische Verformung ohne Verfestigung

In den folgenden Abbildungen ist der fiktive Spannungsverlauf mit einer gestrichelten Linie gezeigt, der dasselbe innere Biegemoment erzeugt wie der tatsächliche Spannungsverlauf.

Bei Werkstoffen die im plastischen Verformungsbereich eine Verfestigung aufweisen, erhöht sich sich die Spannung bei Überschreiten der Fließgrenze entsprechend der Verfestigung. Durch den Verfestigungsanstieg flacht die Spannungskurve ab dem Punkt des Überschreitens der Fließgrenze bis in den Randbereich allmählich ab. Dagegen steigt die Spannung im elastischen Bereich stärker an, behält jedoch nahe der neutralen Faser weiterhin den typisch linearen Spannungsverlauf bei. Im Extremfall des vollplastischen Zustands, d.h. wenn theoretisch der gesamte Querschnitt maximal plastisch verformt wird, geht die Spannungsverteilung in eine rechteckige Form über.

Biegeversuch, Biegespannung, plastische Verformung, mit Verfestigung

Abbildung: plastische Verformung mit Verfestigung

Im plastischen Verformungsbereich verteilt sich die Spannung also grundsätzlich nicht mehr linear über den Querschnitt. Die nachfolgend angegebene Gleichung (\ref{biegespannung}), welche im Abschnitt Biegespannung unter Annahme des linearen Spannungsverlaufs hergeleitet wurde, kann für die Ermittlung der Biegespannung in den Randfasern folglich nicht mehr verwendet werden!

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{biegespannung}
&\boxed{\sigma_b = \frac{M_b}{W_a}} ~~~~~\text{Biegegleichung, nur gültig im linear-elastischen Bereich} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Gleichung dennoch für die Bestimmung der Spannungswerte zugrunde gelegt, so sind die berechneten (fiktiven) Spannungen in den Randbereichen größer als die tatsächlichen (siehe gestrichelte Linie in den Abbildungen). Im Probeninneren sind die berechneten Spannungen hingegen kleiner als die tatsächlich wirksamen. Insbesondere bedeutet dies, dass die mit Hilfe von Gleichung (\ref{biegespannung}) ermittelten Biegefestigkeiten grundsätzlich größer sind als die tatsächlich vorhandenen Biegespannungen beim Bruch.

Biegespannung, Biegedehngrenze, fiktiver, wahrer, tatsächlicher, Spannungswert

Abbildung: Spannungsverlauf bei plastischer Verformung

Wird eine teilplastisch verformte Probe im Biegeversuch entlastet, so wirken in diesem Moment nur die inneren Spannungen bzw. nur das hieraus resultierende innere Drehmoment. Es kommt dadurch bedingt zu einer entsprechenden Rückverformung der Probe. Die inneren Spannungen versuchen die elastisch verformten Bereiche der Probe wieder in den ursprünglichen Zustand zurück zu versetzen, während die plastisch verformten Bereiche genau dies verhindern. Es bleiben auch ohne äußere Kräfte somit Spannungen im Material zurück, die dann als Eigenspannungen bezeichnet werden.

Da dem fiktiven Spannungsverlauf die Gültigkeit des Hooke'schen Gesetzes mit seinem elastischen Verformungsverhalten zugrunde liegt, können die zurückbleibenden Eigenspannungen aus der Differenz der wahren Spannung und der fiktiven Spannung ("Rückverformung der elastischen Anteile") ermittelt werden. Dabei bilden sich wiederum neutrale Fasern aus, die weder auf Zug noch auf Druck beansprucht werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie wieder].

Biegespannung, Eigenspannung, fiktiver Spannungsverlauf, plastische Verformung

Abbildung: Entstehung von Eigenspannungen

Die Spannungsverteilung unter Biegebeanspruchung weist vor allem bei Grauguss eine Besonderheit auf. Dieser Werkstoff zeigt nämlich eine deutliche Abhängigkeit des E-Moduls von der Spannung. Das Hooke'sche Gesetz gilt nicht mehr! Auch reagiert Grauguss auf eine Zugbeanspruchung anders als auf eine Druckbeanspruchung. Druckspannungen kann Grauguss in wesentlich größerem Maße ertragen als Zugspannungen. Dementsprechend wird sich auch eine unterschiedliche Spannungsverteilung ergeben, die insgesamt höhere Druckspannungswerte als Zugspannungswerte aufweist.

Dennoch muss aus statischen Gründen die aus der Druckspannungsverteilung resultierende Druckkraft betragsmäßig gleich der Zugkraft sein, welche ihrerseits aus der entsprechenden Zugspannungsverteilung resultiert. Da die Zugspannungen insgesamt betrachtet jedoch auf einem geringeren Niveau verlaufen, müssen diese für die Erfüllung des statischen Gleichgewichts folglich einen größeren Querschnittsbereich umfassen. Die ungleiche Spannungsverteilung bewirkt also ein Verschieben der neutralen Faser aus dem geometrischen Schwerpunkt der Querschnittsfläche hin in Richtung druckbeanspruchtem Bereich.

Biegeversuch, Verlauf, Biegespannung, Grauguss, Verschiebung, neutrale Faser

Abbildung: Spannungsverlauf bei Grauguss