Maximale Schubspannung

Zeichnet sich eine Werkstoff auf atomarer Ebene durch einen einheitliche Gitterausrichtung aus (keine Korngrenzen), so spricht man auch von einem sogenannten Einkristall. Wird ein solcher Einkristall unter Zug verformt, so zeichnen sich bei entsprechender Kristallausrichtung im Verformungsbereich schräg verlaufende Ringe ab. Dies ist anhand des abgebildeten Kupfer-Einkristalls sehr deutlich zu sehen. Es handelt sich bei diesen Ringen um sogenannte Gleitstufen. Weshalb sich diese dabei bevorzugt unter einem Winkel von 45° abzeichnen, soll im Folgenden geklärt werden.

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Abbildung: Gleitstufen eines Kupfer-Einkristalls

Ausgangssituation soll sein, dass der Einkristall mit der Querschnittsfläche A0 äußerlich mit der Zugkraft F0 belastet wird. Um den Verformungsprozess in Gang zu setzen und ein Abscheren der Atomebenen zu ermöglichen, muss im Inneren eine Schubkraft F|| (Scherkraft) parallel zu den Gleitebenen wirken. Nur auf diese Weise kann die Ebene auch tatsächlich in Gleitrichtung verschoben werden. Eine Kraft F die senkrecht zu den Gleitebenen wirkt (Normalkraft) hat hingegen keinen Einfluss auf die Verformung, da hierdurch lediglich die Ebene zusammengepresst aber nicht verschoben wird.

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Abbildung: Gleitebene

Liegt eine Gleitebene nun unter einem Winkel α zur Zugachse, so kann durch eine Kräftezerlegung die äußere Kraft F0 in eine parallele Komponente (Schubkraft F||) und eine senkrechte Komponente (Normalkraft F) zur Gleitebene zerlegt werden, wobei nur erstere in diesem Fall relevant ist. Mathematisch lässt sich die Scherkraft und die Normalkraft in Abhängigkeit des Winkels α wie folgt ermitteln:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{kraft}
F_{\parallel}=F_0 \cdot \cos(\alpha)  \;\;\;\;\;\; \text{und} \;\;\;\;\;\; F_{\perp}=F_0 \cdot \sin(\alpha)
\end{equation}

Ist der Winkel α zur Zugachse relativ gering, so ist auch die für das Abgleiten nötige Schubkraft relativ gering. Die Kraft reicht unter Umständen nicht aus, um die Gleitebene zu aktivieren und den Verformungsprozess in Gang zu setzen. Liegt die Gleitebene hingegen unter einem relativ großen Winkel α zur Zugachse, so ist zunächst zwar die zum Abgleiten nötige Schubkraft ebenfalls relativ groß. Gleichzeitig steigt jedoch die Gleitebenenfläche und mit ihr die Bindungskraft zwischen den Ebenen. Auch in diesem Fall reicht unter Umständen die größere Schubkraft dennoch nicht aus, um die Ebene zum Abscheren zu bringen und den Verformungsprozess in Gang zu setzen [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung].

Die Situation kann mit einem Klettverschluss verglichen werden, wobei die gegenseitigen Verhakungen zwischen den Verschlussmaterialien den Bindungen zwischen den Atomebenen entsprechen. Sind die Schubkräfte zum Öffnen des Klettverschlusses zu gering, so gleiten die Verschlussmaterialien nicht aufeinander ab. Jedoch führt eine Vervielfachung der Kraft auch dann nicht zum Erfolg wenn gleichzeitig der Überlappungsbereich der beiden Verschlussmaterialien überproportional ansteigt. Es muss demnach ein günstiges Verhältnis von Kraft und Fläche vorliegen, um den optimalen Zustand zu erreichen bei dem die meiste Kraft pro Fläche zu verzeichnen ist.

Maßgebend für ein Abgleiten der Atomebenen ist demnach nicht die Kraft in der Gleitebene alleine sondern die wirkende Kraft pro Fläche, d.h. die Schubspannung (siehe auch Abschnitt Normal- und Schubspannung):

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{schubspannung}
\tau=\frac{F_{\parallel}}{A}
\end{equation}

Während die Schubkraft F|| gemäß Gleichung (\ref{kraft}) von der Winkelstellung α der Gleitebene abhängt, bestimmt sich die Gleitebenenfläche A wie folgt über den Probenquerschnitt A0:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{flaeche}
A=\frac{A_0}{\sin(\alpha)}
\end{equation}

Die Zunahme der Schubkraft (blaue Kurve) und die Zunahme der Fläche (schwarze Kurve) mit geringer werdendem Winkel zeigt schematisch das unten abgebildete Diagramm. Zusätzlich ist der resultierende Verlauf der Schubspannung gezeigt (rote Kurve). Offensichtlich wirkt die größer Kaft pro Fläche unter einem Winkel von 45° zur Zugachse.

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Abbildung: Schubspannung in Abhängigkeit des Gleitebenenwinkels

Den gezeigten Verlauf der Scherspannung erhält man indem man die Gleichung (\ref{kraft}) für der Scherkraft und die Gleichung (\ref{flaeche}) für die Scherfläche in die Scherspannungsformel (\ref{schubspannung}) einsetzt:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{scherspannung}
\tau=\frac{F_{\parallel}}{A}=\frac{F_0 \cdot \cos(\alpha)}{\frac{A_0}{\sin(\alpha)}} =\frac{F_0}{A_0} \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha)
\end{equation}

Der in der Gleichung (\ref{scherspannung}) auftauchende Quotient F0/A0 entspricht dabei gerade der von außen aufgebrachten Normalspannung σ0 ("Kraft pro Probenquerschnittsfläche"), sodass für die winkelabhängige Schubspannung τ(α) gilt:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\tau(\alpha)=\sigma_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha)
\end{equation}

Ferner kann ausgenutzt werden, dass der Term cos(α)·sin(α) durch den Ausdruck sin(2α)/2 ersetzt werden kann. Somit gilt für die wirksame Schubspannung τ in einer mit dem Winkel α zur Zugachse liegenden Gleitebene:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{tau}
\boxed{\tau(\alpha)={\frac{\sin(2 \alpha)}{2}  \cdot \sigma_0}  } = m \cdot \sigma_0
\end{equation}

Die innere Schubspannung τ hängt also von der anliegenden äußeren Spannung σ0 und in besonderem Maße von der Winkelstellung α ab. Der Term sin(2α) erreicht dabei für einen Winkel von α=45° den Maximalwert 1. Wie bereits erwähnt wird die maximale Schubspannung τmax folglich bei einem Winkel von α=45° erreicht. Für diesen Fall entspricht die maximale Schubspannung genau der Hälfte der äußeren Normalspannungen σ0!

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{max}
\boxed{\tau_{max}=\frac{\sigma_0}{2}} ~~~ \text{für} ~~~ \alpha=45°
\end{equation}

Das Verhältnis von wirkender Schubspannung τ im Inneren einer beliebig orientierten Gleitebene und äußerer anliegender Normalspannung σ0 wird auch als Schmid-Faktor m bezeichnet. Dieser geometrieabhängige Kennwert erreicht folglich maximal den Wert 0,5:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{schmid}
\boxed{ m=\frac{\tau}{\sigma_0} } \le 0,5
\end{equation}

Zusammenfassend lässt sich also festhalten, dass äußere Normalspannungen σ0 im Werkstoffinneren Schubspannungen τ induzieren. Diese werden unter einem Winkel von 45° maximal. In jenen günstig gelegenen Gleitebenen scheren die Atomschichten deshalb bevorzugt ab [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Dies ist der Grund weshalb der oben gezeigte Kupfer-Einkristall Gleitstufen unter einem Winkel von ca. 45° zur Zugachse aufweist. Voraussetzung hierfür ist, dass die Gitterstruktur räumlich so orientiert ist, dass sich eine Gleitebene möglichst unter einem Winkel von 45° ergibt. Welche Auswirkungen es hat, wenn dies nicht der Fall ist, zeigt der folgende Abschnitt.

Einfachgleitung, Kupfer-Einkristall, Gleitstufen

Abbildung: Gleitstufen (schematisch)