Phasenanteil

Im Abschnitt zuvor wurde die Bestimmung der chemischen Zusammensetzung von Schmelze und Mischkristallen anhand des Zustandsdiagramms erläutert. Unbeantwortet ist bisher noch die Frage wie viel Prozent der gesamten Legierung bei einer bestimmten Temperatur noch flüssig ist (d.h. als Schmelze vorliegt) und wie viel Prozent bereits erstarrt ist (d.h. als Mischkristalle vorliegen). Man kann sich hierzu anschaulich vorstellen, dass die teilweise bereits erstarrte Legierung in Gedanken von der Restschmelze abgesiebt wird. Nun werden die abgesiebten Mischkristalle und die flüssige Restschmelze getrennt gewogen und deren jeweiligen Massenanteile am Gesamten bestimmt. 

Man redet in diesem Zusammenhang auch vom sogenannten Phasenanteil, d.h. der massenmäßige Anteil zwischen den Phasen Schmelze und Mischkristalle. Dieser Phasenanteil kann ebenfalls anhand des Zustandsdiagramms ermittelt werden. Da die umgesetzten Wärmeenergien an die jeweiligen Massen der Phasen gekoppelt sind, lassen sich die Phasenanteile mithilfe des Hebelgesetzes bestimmen. Hierzu wird im Folgenden exemplarisch die CuNi55-Legierung bei einer Temperatur von 1300 °C betrachtet.

Berechnung, Anteil, Schmelze, Mischkristall, Hebelgesetz

Abbildung: Bestimmung der Phasenanteile

Ausgehend des betrachteten Zustandspunktes bilden die entsprechenden Abstände hin zur Liquidus- bzw. Soliduslinie die Hebelarme einer gedachten Balkenwaage, deren Drehpunkt sich im Zustandspunkt befindet [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. In Gedanken werden nun an den Hebelenden die jeweiligen Behältnisse mit den abgesiebten Phasen angehängt. Dabei wird das Behältnis mit den bereits erstarrten Mischkristallen auch an die Phasengrenze hin zu den Mischkristallen gehängt (Soliduslinie), während der Schmelzebehälter entsprechend an die zum Schmelzbereich angrenzende Liquiduslinie angebracht wird.

Nun kann das Gleichnis der Waage herangezogen werden, um die jeweiligen Phasenanteile zu bestimmen. In der anschaulichen Vorstellung ist es dabei vorteilhaft von einer Legierungsmasse von 100 kg auszugehen. Somit stellt sich in dem Zusammenhang die Frage wie viel von dieser Gesamtmasse auf die jeweiligen Hebelarme entfällt, um sich im Gleichgewicht zu befinden.

Wird die Schmelzmasse mit \(Sm\) bezeichnet und die Masse der Mischkristalle mit \(Mk\), so liefert das Hebelgesetz zunächst den folgenden Zusammenhang mit den entsprechenden Hebelarmen \(a\) und \(b\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{hebelgesetz}
& Sm \cdot a = Mk \cdot b  \\[5px]
\end{align}

Als weitere Bedingung kommt schließlich noch hinzu, dass der Massenanteil an Schmelze und Mischkristalle zusammen 100 % ergeben muss (in der anschaulichen Vorstellung entspricht dies dem Einsatz von 100 kg Legierung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{massengesetz}
& Sm + Mk = 100 \text{ %}  \\[5px]
\end{align}

Die beiden Bedingungen können nun ineinander eingesetzt und jeweils nach den gesuchten Größen \(Sm\) bzw. \(Mk\) aufgelöst werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{Sm \cdot a  = Mk \cdot b} ~~~\text{mit}~~~\underline{Mk = 100 \text{ %} -Sm} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
Sm \cdot a &= (100 \text{ %} - Sm) \cdot b  \\[5px]
Sm \cdot a &= 100 \text{ %} \cdot b - Sm \cdot b  \\[5px]
Sm \cdot a + Sm \cdot b &= 100 \text{ %} \cdot b   \\[5px]
Sm \cdot (a+b) &= 100 \text{ %} \cdot b   \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{Sm}
\boxed{Sm = \frac{b}{a+b} \cdot 100 \text{ %}}   \\[5px]
\end{align}

Auf die analoge Weise erhält man die Phasenzusammensetzung für die Mischkristalle:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{Sm \cdot a  = Mk \cdot b} ~~~\text{mit}~~~\underline{Sm = 100 \text{ %} -Mk} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
(100 \text{ %} - Mk) \cdot a &= Mk \cdot b  \\[5px]
100 \text{ %} \cdot a - Mk \cdot a &= Mk \cdot b  \\[5px]
100 \text{ %} \cdot a  &= Mk \cdot b + Mk \cdot a  \\[5px]
100 \text{ %} \cdot a  &= Mk \cdot (a+b) \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{Mk}
\boxed{Mk = \frac{a}{a+b} \cdot 100 \text{ %}}   \\[5px]
\end{align}

Die Ergebnisse können schließlich wie folgt interpretiert werden. Der Anteil einer Phase bestimmt sich immer über die Länge des gegenüberliegenden Hebelarms geteilt durch die Gesamtlänge des Hebels (auch als Konode bezeichnet)! Dieser Merksatz ist wesentlich einprägsamer als die entsprechenden Formeln, zumal die Bezeichnung der Hebellängen \(a\) und \(b\) willkürlich gewählt wurde und sich bei Vertauschen auch die jeweiligen Formeln ändern würden.

  • Der Phasenanteil ergibt sich über die Formel: "Gegenüberliegender Hebelarm geteilt durch die Konodenlänge"

In dem vorliegenden Fall besitzt der gegenüberliegende Hebelarm des Mischkristallbehältnisses \(a=9\) und die gegenüberliegende Hebellänge des Schmelzbehälters \(b=3\) (dabei beziehen sich die Hebellängen auf den Abstand der jeweiligen Konzentrationswerte). Somit ergibt sich eine Gesamthebellänge von \(a+b=12\). Mit diesen Werten kann nun der Phasenanteil der Schmelze bzw. der Mischkristalle ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{Sm} = \frac{b}{a+b} \cdot 100 \text{ %} = \frac{3}{12} \cdot 100 \text{ %} = \underline{25 \text{ %}}   \\[5px]
\underline{Mk} = \frac{a}{a+b} \cdot 100 \text{ %} = \frac{9}{12} \cdot 100 \text{ %} = \underline{75 \text{ %}}   \\[5px]
\end{align}

Demzufolge liegt in dem betrachteten Zustandspunkt 25 % der Legierungsmasse als Schmelze vor, während die restlichen 75 % der Legierung bereits erstarrt sind und somit als Mischkristalle vorliegen. Die Phasenanteile addiert müssen in Summe natürlich wieder 100 % ergeben. Beachte, dass sich mit sinkender Temperatur das Gleichgewicht kontinuierlich hin zu einem größeren Mischkristallanteil verschiebt und somit auch hieraus ersichtlich wird, dass das Gefüge mehr und mehr erstarrt.

Um die bisher ermittelten Zahlen etwas anschaulicher zu gestalten, wird nun von einer Legierungsmasse von insgesamt 100 kg ausgegangen. Übertragen auf den vorliegenden Zustand, sind somit 75 kg der Legierung bereits erstarrt, während 25 kg noch in flüssiger Form vorliegen. Wie im Abschnitt Phasenzusammensetzung bereits ermittelt, bestehen die vorliegenden 75 kg Mischkristalle im Mittel aus 58 % Nickel, während die Schmelze einen Nickelgehalt von 45 % aufweist.

In den Mischkristallen befindet sich somit eine Nickelmasse von 43,5 kg (=75 kg x 0,58) und in der Schmelze eine Nickelmasse von 11,5 kg (=25 kg x 0,46). In Summe beinhaltet die Legierung somit insgesamt eine Nickelmasse von 55 kg (=43,5 kg + 11,5 kg). Dies entspricht schließlich genau der Masse an Nickel für eine CuNi55-Legierung, die wie gefordert bei einem Legierungseinsatz von 100 kg zu insgesamt 55 kg aus Nickel besteht.