Kubisch-raumzentriertes Gitter

Um die Packungsdichte im kubisch-raumzentrieten Gitter zu ermitteln, wird die Raumdiagonale \(e\) der würfelförmigen Elementarzelle betrachtet. Die drei auf dieser Diagonalen liegenden Atomkugeln berühren sich gerade gegenseitig. Somit entspricht die Raumdiagonale dem 4-fachen Atomradius \(r\). In einem Würfel ist die Raumdiagonale um den Faktor √3 größer als die Würfelkante \(a\). Somit ergibt sich der Atomradius \(r\) in Abhängigkeit der Würfelkante \(a\) wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
e=\sqrt{3} \cdot a = 4 \cdot r ~\Rightarrow ~ \underline{r= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a}
\end{align}

Packungsdichte, kubisch-raumzentriertes Gitter, Elementarzelle, Berechnung, krz

Abbildung: Packungsdichte im kubisch-raumzentrierten Gitter (krz)

In der Elementarzelle befindet sich ein ganzes Atom in der Mitte und acht weitere zu je einem Achtel auf den Würfelecken. Insgesamt befindet sich also das Volumen von zwei vollen Atomkugeln in der Elementarzelle mit dem Atomvolumen \(V_A\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{V_A} =2 \cdot V_{Kugel}
=2 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^3
=\frac{8}{3} \pi \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a \right)^3
= \underline{ \frac{\sqrt{3}}{8} \pi \cdot a^3}
\end{align}

Dieses Atomvolumen \(V_A\) kann nun ins Verhältnis zum Elementarzellenvolumen \(V_{EZ}=a^3\) gesetzt werden, sodass für die Packungsdichte \(PD\) des kubisch-raumzentrierten Gitters gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{\underline{PD}}= \frac{V_A}{V_EZ} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{8} \pi \cdot a^3}{a^3}=\frac{\sqrt{3}}{8} \pi \approx \underline{\underline{0,68}}
\end{align}

Somit besitzt das krz-Gitter einen Atomvolumenanteil von 68 %.