Kubisch-flächenzentriertes und hexagonal-dichtestgepacktes Gitter

Die Packungsdichte im kubisch-flächenzentrierten Gitter (kfz) kann auf analoge Weise ermittelt werden. Dabei berühren sich drei Atomkugeln auf der Flächendiagonalen der Elementarzelle. Die Flächendiagonale \(f\) entspricht somit dem 4-fachen Atomradius, wobei die Flächendiagonale dem Wert √2·\(a\) entspricht (\(a\) ist die Würfelkante). Somit ergibt sich der Atomradius \(r\) in Abhängigkeit der Würfelkante wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
f=\sqrt{2} \cdot a = 4 \cdot r ~\Rightarrow ~ \underline{r= \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a}
\end{align}

Packungsdichte, kubisch-flächenzentriertes, hexagonal-dichtestgepacktes Gitter, Elementarzelle, Berechnung, kfz, hdp

Abbildung: Packungsdichte im kubisch-flächenzentrierten Gitter (krz)

In der kfz-Elementarzelle befinden sich sechs Atome auf den Würfelflächen, deren Volumen sich je zur Hälfte in der Elementarzelle befindet (3 ganze Atomvolumina). Zusätzlich befinden sich acht weitere Atome zu je einem Achtel auf den Würfelecken (1 ganzes Atomvolumen). Insgesamt befindet sich also das Volumen von vier vollen Atomkugeln in der Elementarzelle mit dem Atomvolumen \(V_A\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{V_A} =4 \cdot V_{Kugel}
=4 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot r^3
= \frac{16}{3} \pi \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a \right)^3
= \underline{ \frac{\sqrt{2}}{6} \pi \cdot a^3}
\end{align}

Dieses Atomvolumen \(V_A\) kann nun ins Verhältnis zum Elementarzellenvolumen \(V_{EZ}=a^3\) gesetzt werden, sodass für die Packungsdichte \(PD\) des kubisch-flächenzentrierten Gitters gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\underline{\underline{PD}}= \frac{V_A}{V_EZ} =\frac{\frac{\sqrt{2}}{6} \pi \cdot a^3}{a^3}=\frac{\sqrt{2}}{6} \pi \approx \underline{\underline{0,74}}
\end{align}

Das kfz-Gitter weist somit einen Atomvolumenanteil von 74 % auf. Dabei muss gunrdsätzlich nicht zwischen dem kfz-Gitter und dem hexagonal-dichtestgepackten Gitter (hdp) unterschieden werden, da es sich in beiden Fällen jeweils um Stapelungen dichtestgepackter Ebenen handelt (siehe Kapitel Wichtige Gittertypen). Die Packungsdichte im hdp-Gitter besitzt somit ebenfalls den maximal möglichen Wert von 74 %.