Wärmeübertragung
Stehen zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt zueinander, so sind diese grundsätzlich immer bestrebt ihre Temperaturen auszugleichen sodass sich ein thermodynamisches Gleichgewicht einstellt. In vielen Fällen stellt sich dabei ein stationärer Zustand ein, sodass sich die unterschiedlichen Temperaturen dabei nicht ändern. Man denke bspw. an eine Hauswand, an dessen Innenseite eine konstante Raumtemperatur von \(T_A\) = 22 °C herrscht und an der Außenseite eine Umgebungstemperatur von \(T_B\) = - 5 °C. Das Bestreben die Temperaturen anzugleichen resultiert schließlich in einem Wärmestrom durch die Wand von der Innenseite zur Außenseite hin, ohne dass sich dabei weder die Außentemperatur ändert noch die Raumtemperatur ändert.
Abbildung: Wärmeübertragung durch eine Hauswand
Dieser Vorgang stellt ein typisch Irreversibler Prozess dar, denn ohne Energieaufwand wird sich der Wärmestrom nicht von selbst umkehren und Wärme in kalten Wintertagen von außen in das Haus transportieren. Wie viel Entropie bei einer solchen stationären Wärmeübertragen erzeugt wird, soll im Folgenden gezeigt werden.
Im Kapitel Wärmestrom wurde bereits qualitativ erläutert, dass dabei umso mehr Wärme pro Zeit übertragen wird, je größer die Temperaturdifferenz ist. Die Temperaturdifferenz zwischen der wärmeren Seite (\(T_A\)) und der kühleren Seite (\(T_B\)) stellt sozusagen den Antrieb für den Wärmestrom \(\dot Q\) (= Wärmeenergie pro Zeit) dar, denn ohne Temperaturdifferenz kein Wärmestrom:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot Q \sim (T_A - T_B) \\[5px]
\end{align}
Zudem kann umso mehr Wärmeenergie übertragen werden, je größer die Fläche \(A\) ist, über die Wärme transportiert wird (über eine große Hauswand wird schließlich mehr Wärme abgegeben als über eine kleinere Wand):
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot Q \sim A \\[5px]
\end{align}
Der Wärmestrom ist somit proportional zur Temperaturdifferenz und zur Fläche. Der Proportionalitätsfaktor zwischen diesen Größen wird Wärmeübergangskoeffizient \(\alpha\) genannt:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot Q \sim (T_A - T_B) \cdot A \\[5px]
\label{1}
&\boxed{\dot Q =\alpha \cdot (T_A - T_B) \cdot A} ~~~~~\text{mit}~~ [\alpha] = \frac{\text{W}}{\text{m² K}} ~~~\text{als Wärmeübergangskoeffizient}\\[5px]
\end{align}
Dieser Wärmestrom geht vom Stoff mit der höheren Temperatur \(T_A\) ab und führt dort folglich zu einem Abtransport von Entropie mit dem Entropiestrom \(\Delta \dot S_A\):
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot S_A = \frac{\dot Q}{T_A} \\[5px]
\end{align}
Derselbe Wärmestrom \(\dot Q\), welcher vom heißeren Stoff abgeht, nimmt der kühlere Stoff schließlich auf. Jedoch wird dieser Wärmestrom bei geringerer Temperatur aufgenommen, sodass die Entropiezunahme des kühleren Stoffes größer ist als die Entropieabnahme des wärmeren Stoffes:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot S_B = \frac{\dot Q}{T_B} \\[5px]
\end{align}
Die Differenz beider Entropieströme entspricht folglich dem erzeugten Entropiestrom:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot S_{erz} = \dot S_B - \dot S_A= \frac{\dot Q}{T_B} - \frac{\dot Q}{T_A} = \dot Q \left( \frac{1}{T_B} - \frac{1}{T_A} \right) = \dot Q ~ \frac{T_A - T_B}{T_B \cdot T_A} \\[5px]
\end{align}
Mit dem Wärmestrom nach Gleichung (\ref{1}) ergibt sich schließlich:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\dot S_{erz} = \alpha \cdot (T_A - T_B) \cdot A ~ \frac{T_A - T_B}{T_B \cdot T_A} \\[5px]
&\boxed{\dot S_{erz} = \alpha \cdot A ~ \frac{(T_A - T_B)^2}{T_B \cdot T_A} } \\[5px]
\end{align}
Anmerkung: Aufgrund des Quadrierens der Temperaturdifferenz in der oberen Gleichung spielt es folglich keine Rolle welche der beiden Temperaturen den größeren Wert besitzt. Dieser Term wird stets positiv sein und damit auch der erzeugte Entropiestrom.
Die Erzeugung der Entropie findet im betrachteten Beispiel über die Hauswand hinweg statt, d.h. genau dort wo sich das System nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befindet (Temperaturgradient).
Abbildung: Entropieerzeugung bei stationärer Wärmeübertragung
Wie lässt sich nun in diesem Beispiel die erzeugte Entropie während der Wärmeübertragung mit der Dissipation von Energie in Zusammenhang bringen?
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S_{erz} = \int \frac{\text{d}W_{Diss}}{T} \\[5px]
\end{align}
Wie bereits im Abschnitt freie Expansion im Vakuum erläutert, steht die dissipierte Energie letztlich für die vergebene Chance Arbeit aus dem Prozess zu ziehen. Denn im vorliegenden Fall wurde die Wärme "ungenutzt" von der Innenseite auf die Außenseite der Wand übertragen. Man hätte an dieser Stelle jedoch gleichzeitig Arbeit umsetzen können. Zum Beispiel dadurch, dass man die Innenwand als "Heißseite" und die Außenwand als "Kaltseite" eines Stirlingmotor nutzt. Der Wärmefluss wäre dann nicht mechanisch ungenutzt übertragen worden, sondern wäre teilweise in Arbeit umgewandelt worden. Diese Möglichkeit Arbeit zu verrichten wurde jedoch nicht genutzt sondern im vorliegenden Fall dissipiert ("zerstreut").